4 Igual que el Problema 4 de Grado 10.

50 Para cualquier cuadrilátero con longitudes de lados $a,$ $b,$ $c,$ $d$ y área $S,$ demuestre la desigualdad $S\leq \frac{a+c}{2}\cdot \frac{b+d}{2}.$

18 Resuelva la ecuación $\frac{1}{\sin x}+\frac{1}{\cos x}=\frac{1}{p}, $ donde $p$ es un parámetro real. Investigue para qué valores de $p$ existen soluciones y cuántas soluciones existen. (Por supuesto, la última pregunta ''cuántas soluciones existen'' debe entenderse como ''cuántas soluciones existen módulo $2\pi $''.)

8 Sea $A=\{1,2,\cdots,n\}$ . Si existen conjuntos no vacíos $B,C$ tales que $B\cap C=\varnothing,B\cup C=A$ . La suma de los cuadrados de todos los elementos de $B$ es $M$ , la suma de los cuadrados de todos los elementos de $C$ es $N$ , $M-N=2016$ . Halle el valor mínimo de $n$ .

2 Dados $n$ números positivos $a_{1},$ $a_{2},$ $...,$ $a_{n}$ tales que $a_{1}\cdot a_{2}\cdot ...\cdot a_{n}=1.$ Demuestre que \[ \left( 1+a_{1}\right) \left( 1+a_{2}\right) ...\left(1+a_{n}\right) \geq 2^{n}.\]

2 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\odot O$ . La bisectriz de $\angle ABC$ interseca a $\odot O$ en $D$ . Las dos rectas $PB$ y $PC$ tangentes a $\odot O$ se intersecan en $P$ . $PD$ interseca a $AC$ en $E$ y a $\odot O$ en $F$ . $M$ es el punto medio de $BC$ . Demuestre que $M,F,C,E$ son concíclicos.

3 Sea $m(m>1)$ un entero; defina $(a_n)$ : $a_0=m,a_{n}=\varphi(a_{n-1})$ para todo entero positivo $n$ . Si para todo entero no negativo $k$ se cumple $a_{k+1}\mid a_k$ , halle todos los $m$ que no superan $2016$ . Nota: $\varphi(n)$ denota la función de Euler.

8 Dado un conjunto $I=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)|x_i\in\{1,2,\cdots,11\}\}$ . Sea $A\subseteq I$ tal que, para cualesquiera $(x_1,x_2,x_3,x_4),(y_1,y_2,y_3,y_4)\in A$ , existen $i,j(1\leq i<j\leq4)$ con $(x_i-x_j)(y_i-y_j)<0$ . Halle el valor máximo de $|A|$ .

1 Halle todas las soluciones enteras de la ecuación $$\frac{xyz}{w}+\frac{yzw}{x}+\frac{zwx}{y}+\frac{wxy}{z}=4$$

1B En $\triangle ABC$ , demuestre que \[\frac{tan\frac{A}{2}+tan\frac{B}{2}+tan\frac{C}{2}}{\sqrt{3}}\geq\sqrt[6]{tan^2\frac{A}{2}+tan^2\frac{B}{2}+tan^2\frac{C}{2}}.\]