2 Se da un polígono reticular cerrado de 100 lados (que puede ser cóncavo) tal que sus vértices tienen coordenadas enteras, sus lados son paralelos a los ejes y todos sus lados tienen longitud impar. Demuestre que su área es impar.

3 Se da un polígono $\prod$ en el plano $OXY$ y su área excede a $n.$ Demuestre que existen $n+1$ puntos $P_{1}(x_1, y_1), P_{2}(x_2, y_2), \ldots, P_{n+1}(x_{n+1}, y_{n+1})$ en $\prod$ tales que $\forall i,j \in \{1, 2, \ldots, n+1\}$ , $x_j - x_i$ y $y_j - y_i$ son todos enteros.

1 a.) Para todo entero positivo $k$ halle el menor entero positivo $f(k)$ tal que existen $5$ conjuntos $s_1,s_2, \ldots , s_5$ que satisfacen: i. cada uno tiene $k$ elementos; ii. $s_i$ y $s_{i+1}$ son disjuntos para $i=1,2,...,5$ ( $s_6=s_1$ ) iii. la unión de los $5$ conjuntos tiene exactamente $f(k)$ elementos. b.) Generalización: Considere $n \geq 3$ conjuntos en lugar de $5$ .

3 Sean $r_1=2$ y $r_n = \prod^{n-1}_{k=1} r_i + 1$ , $n \geq 2.$ Demuestre que entre todos los conjuntos de enteros positivos tales que $\sum^{n}_{k=1} \frac{1}{a_i} < 1,$ las sucesiones parciales $r_1,r_2, ... , r_n$ son las que más se acercan a 1.

1 Dada una figura convexa en el plano cartesiano simétrica respecto de ambos ejes, construimos en su interior un rectángulo $A$ de área máxima (entre todos los rectángulos posibles). Luego lo ampliamos con centro en el centro del rectángulo y razón lamda de modo que cubra la figura convexa. Halle el menor lamda que funcione para todas las figuras convexas.

2 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que la ecuación $x^3+y^3+z^3=n \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot z^2$ tiene soluciones enteras positivas.

3 Sea $ G$ un grafo simple con $ 2 \cdot n$ vértices y $ n^{2}+1$ aristas. Muestre que este grafo $ G$ contiene un $ K_{4}-\text{one edge}$ , es decir, dos triángulos con una arista común.

3 Dado un entero positivo $A$ escrito en su expansión decimal: $(a_{n},a_{n-1}, \ldots, a_{0})$ y sea $f(A)$ la expresión $\sum^{n}_{k=0} 2^{n-k}\cdot a_k$ . Defina $A_1=f(A), A_2=f(A_1)$ . Demuestre que: I. Existe un entero positivo $k$ para el cual $A_{k+1}=A_k$ . II. Halle dicho $A_k$ para $19^{86}.$

4 Dado un triángulo $ABC$ para el cual $C=90$ grados, demuestre que dados $n$ puntos en su interior, podemos nombrarlos $P_1, P_2 , \ldots , P_n$ de alguna manera tal que: $\sum^{n-1}_{k=1} \left( P_K P_{k+1} \right)^2 \leq AB^2$ (la suma se efectúa sobre los cuadrados consecutivos de los segmentos de $1$ hasta $n-1$ ) . Editado por orl.

1 Dado un cuadrado $ABCD$ cuyo lado mide $1$ , $P$ y $Q$ son puntos sobre los lados $AB$ y $AD$ . Si el perímetro de $APQ$ es $2$ , halle el ángulo $PCQ$ .