Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2011 Problema 7
7 En el rectángulo $ABCD$ con $AB> BC$ , la mediatriz de $AC$ interseca el lado $CD$ en el punto $E$ . La circunferencia con centro en el punto $E$ y radio $AE$ interseca nuevamente el lado $AB$ en el punto $F$ . Si el punto $O$ es la proyección ortogonal del punto $C$ sobre la recta $EF$ , demuestre que los puntos $B, O$ y $D$ son colineales.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 1
1 Enunciado incompleto Sean $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ algunos números tales que las funciones $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, f(x)=ax^2+bx+c$ y $g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, g(x)=-ax+d$ tienen sus gráficas como en la figura dada. Halle la solución positiva de la ecuación $f(x)=0.$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 2
2 Los números reales positivos $a, b, c$ satisfacen $abc=1$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{a^2+b^2}{a^4+b^4}+\frac{b^2+c^2}{b^4+c^4}+\frac{c^2+a^2}{c^4+a^4}\leq a+b+c.$$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 3
3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle BCA=20.$ Sean los puntos $D\in(BC), F\in(AC)$ tales que $CD=DF=FB=BA.$ Halle $\angle ADF.$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 4
4 Petrică, Vasile y Tudor participaron en un concurso de matemáticas. En el concurso se propusieron $ 5$ problemas, cada uno con un número entero distinto de puntos. Petrică resolvió completamente $4$ problemas y obtuvo $21$ puntos, y Vasile resolvió completamente $3 $ problemas y obtuvo $22$ puntos. Tudor resolvió completamente todos los problemas. ¿Cuáles son las puntuaciones más baja y más alta posibles de Tudor?
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 5
5 Halle el menor entero positivo impar con un número impar de divisores que sea divisible por $d^2$ y por $a+b+c+d+e+f$ , donde $a, b, c, d, e, f$ son números primos consecutivos.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 6
6 Demuestre que no existen pares de enteros no negativos $(x,y)$ que satisfagan la igualdad $$x^3-y^3=x-y+2^{x-y}.$$
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 7
7 En el triángulo $ABC$ hay puntos $D\in(AC)$ y $F\in(AB)$ tales que $AD=AB$ y la recta $BC$ divide el segmento $[CF]$ por la mitad. Demuestre que $BF=CD$ .
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2009 Problema 8
8 El lado de un triángulo equilátero tiene longitud $n\in\mathbb{N}.$ Cada lado está dividido en $ n $ segmentos iguales por puntos de división. Por los puntos de división de cada dos lados se traza una recta paralela al tercer lado del triángulo. Sea $c_n$ el número de todos los rombos de lado $1$ dentro del triángulo inicial. Demuestre que la mayor solución $ n $ de la inecuación $c_n<2009$ es un número primo.
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Pruebas de Selección de Equipos de los Balcanes Junior de Moldavia 2007 Problema 1
1 Los números $d_1, d_2,..., d_6$ son dígitos distintos del sistema de numeración decimal, diferentes de $6$ . Demuestre que $d_1+d_2+...+d_6= 36$ si y solo si $(d_1-6) (d_2-6) ... (d_6 -6) = -36$ .
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