3 Demuestre que el número $19 \cdot 8^n +17$ es compuesto para todo entero positivo $n$

4 En el triángulo $ABC$ , el punto $O$ es el circuncentro. El punto $T$ es el baricentro de $ABC$ , y los puntos $D$ , $E$ y $F$ son los circuncentros de los triángulos $TBC$ , $TCA$ y $TAB$ . Demuestre que $O$ es el baricentro de $DEF$

1 Problema 2 para el grado

2 Sean $a$ , $b$ , $c$ y $d$ enteros tales que $ac$ , $bd$ y $bc+ad$ son divisibles por el entero positivo $m$ . Muestre que los números $bc$ y $ad$ son divisibles por $m$

3 Problema 4 para el grado

4 Demuestre la desigualdad: $$\frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+r}+\frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+r}>\frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+r}$$ donde $A$ , $B$ , $C$ , $a$ , $b$ , $c$ y $r$ son números reales positivos

2 En una mesa redonda hay $10$ estudiantes. Cada uno de los estudiantes piensa un número y se lo dice a sus vecinos inmediatos (izquierdo y derecho) de modo que los demás no lo oigan. Así, cada estudiante conoce tres números. Después, cada estudiante dice públicamente la media aritmética de los dos números que obtuvo de sus vecinos. Si esas medias aritméticas fueron $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $7$ , $8$ , $9$ y $10$ , respectivamente, ¿qué número pensó el estudiante que dijo públicamente el número $6$ ?

3 El triángulo $AOB$ se rota en el plano alrededor del punto $O$ en $90^{\circ}$ y se transforma en el triángulo $A_1OB_1$ ( $A$ se transforma en $A_1$ , $B$ se transforma en $B_1$ ) . Demuestre que la mediana del triángulo $OAB_1$ correspondiente al lado $AB_1$ es ortogonal a $A_1B$

1 Halle el coeficiente real $c$ del polinomio $x^2+x+c$ , si sus raíces $x_1$ y $x_2$ satisfacen lo siguiente: $$\frac{2x_1^3}{2+x_2}+\frac{2x_2^3}{2+x_1}=-1$$

2 Si $p>2$ es un número primo y $m$ y $n$ son enteros positivos tales que $$\frac{m}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{p-1}$$ Demuestre que $p$ divide a $m$