13 Demuestre que $2^{147} - 1$ es divisible por $343.$ Amir

14 Sean $n$ y $k$ números naturales y $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ números reales positivos que satisfacen $a_1+a_2+\cdots +a_n=1$ . Demuestre que \[\dfrac {1} {a_1^{k}}+\dfrac {1} {a_2^{k}}+\cdots +\dfrac {1} {a_n^{k}} \ge n^{k+1}.\]

15 Sea $ABC$ un triángulo. Demuestre que existe un punto $D$ sobre el lado $AB$ del triángulo $ABC$ , tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $DB$ , si y solo si el triángulo $ABC$ satisface la desigualdad $\sin A\sin B\le\sin^2\frac{C}{2}$ . Comentario Formulación alternativa, de IMO ShortList 1974, Finland 2: Consideremos un triángulo $ABC$ . Demuestre que: $\sin(A) \sin(B) \leq \sin^2 \left( \frac{C}{2} \right)$ es una condición necesaria y suficiente para la existencia de un punto $D$ sobre el segmento $AB$ tal que $CD$ es la media geométrica de $AD$ y $BD$ .

16 Una baraja de $2n$ cartas contiene $n$ pares diferentes de cartas. Cada par consta de dos cartas idénticas, cada una de las cuales se denomina la gemela de la otra. Se juega un juego entre dos jugadores $A$ y $B$ . Una tercera persona, llamada el repartidor, baraja la baraja y reparte las cartas una a una boca arriba sobre la mesa. Uno de los jugadores, llamado el receptor , toma la carta repartida, siempre que no tenga ya su gemela. Si ya tiene la gemela, su oponente toma la carta repartida y se convierte en el receptor. $A$ es inicialmente el receptor y toma la primera carta repartida. El jugador que primero obtiene un conjunto completo de $n$ cartas diferentes gana el juego. ¿Qué fracción de todos los arreglos posibles de la baraja conducen a que gane $A$ ? Demuestre la corrección de su respuesta.

17 Muestre que existe un conjunto $S$ de $15$ circunferencias distintas sobre la superficie de una esfera, todas con el mismo radio y tales que $5$ tocan exactamente a otras $5$ , $5$ tocan exactamente a otras $4$ , y $5$ tocan exactamente a otras $3$ . [Problema general: http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=384764 ] Amir

18 Sean $A_r,B_r, C_r$ puntos sobre la circunferencia de una circunferencia dada $S$ . A partir del triángulo $A_rB_rC_r$ , llamado $\Delta_r$ , se obtiene el triángulo $\Delta_{r+1}$ construyendo los puntos $A_{r+1},B_{r+1}, C_{r+1} $ o n $S$ tales que $A_{r+1}A_r$ es paralelo a $B_rC_r$ , $B_{r+1}B_r$ es paralelo a $C_rA_r$ , y $C_{r+1}C_r$ es paralelo a $A_rB_r$ . Cada ángulo de $\Delta_1$ es un número entero de grados y esos enteros no son múltiplos de $45$ . Demuestre que al menos dos de los triángulos $\Delta_1,\Delta_2, \ldots ,\Delta_{15}$ son congruentes. Amir

N2 Un entero positivo se llama Tiranian si puede escribirse como $x^2+6xy+y^2$ , donde $x$ e $y$ son enteros positivos (no necesariamente distintos). El entero $36^{2023}$ se escribe como la suma de $k$ enteros Tiranian. ¿Cuál es el menor valor posible de $k$ ? Propuesto por Miroslav Marinov, Bulgaria

19 Demuestre que existe, para $n \geq 4$ , un conjunto $S$ de $3n$ circunferencias iguales en el espacio que puede ser particionado en tres subconjuntos $s_5, s_4$ , y $s_3$ , cada uno conteniendo $n$ circunferencias, tal que cada circunferencia en $s_r$ toca exactamente $r$ circunferencias en $S.$ Amir

20 ¿Para cuáles números naturales $n$ existen $n$ números naturales $a_i\ (1\le i\le n)$ tales que $\sum_{i=1}^n a_i^{-2}=1$ ?

21 Sea $M$ un subconjunto no vacío de $\mathbb Z^+$ tal que para todo elemento $x$ en $M,$ los números $4x$ y $\lfloor \sqrt x \rfloor$ también pertenecen a $M.$ Demuestre que $M = \mathbb Z^+.$ Amir