Problema A1 de la Shortlist BMO 2017. Sean $ a $ , $ b$ , $ c$ números reales positivos tales que $abc= 1 $ . Demuestra que $$\frac{1}{a^{5}+b^{5}+c^{2}}+\frac{1}{b^{5}+c^{5}+a^{2}}+\frac{1}{c^{5}+b^{5}+b^{2}}\leq 1 . $$

6. Sea \(P(x)\) un polinomio no constante de grado \(n\) con coeficientes racionales que no puede expresarse como producto de dos polinomios no constantes con coeficientes racionales. Demuestra que el número de polinomios \(Q(x)\) de grado menor que \(n\) con coeficientes racionales tales que \(P(x)\) divide a \(P(Q(x))\) a) es finito b) no excede a \(n\).

2 Encuentra todas las funciones estrictamente crecientes $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tales que $$f(mf(n))+f(n)=f(nf(m))+f(m)$$ se cumple para todos los enteros positivos $m,n$.

Halle todos los enteros no negativos $x, y$ tales que \[x^3y+x+y=xy+2xy^2\]

2 Sea $n\ge 3$ un entero. Una diagonal interior de un $n$ -gono simple es una diagonal que está contenida en el $n$ -gono. Denota por $D(P)$ el número de todas las diagonales interiores de un $n$ -gono simple $P$ y por $D(n)$ el menor valor posible de $D(Q)$, donde $Q$ es un $n$ -gono simple. Demuestra que no hay dos diagonales interiores de $P$ que se intersecten (excepto posiblemente en un extremo común) si y solo si $D(P)=D(n)$. Nota: Un $n$ -gono simple es un polígono sin autointersecciones con $n$ vértices. Un polígono no es necesariamente convexo.

1 En un triángulo dado $ABC$, $O$ es su circuncentro, $D$ es el punto medio de $AB$ y $E$ es el baricentro del triángulo $ACD$. Demuestra que las rectas $CD$ y $OE$ son perpendiculares si y solo si $AB=AC$.

2 Sean $a,b,c,d \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ números reales tales que $\sin{a}+\sin{b}+\sin{c}+\sin{d}=1$ y $\cos{2a}+\cos{2b}+\cos{2c}+\cos{2d}\geq \frac{10}{3}$. Demuestra que $a,b,c,d \in [0, \frac{\pi}{6}]$.

3 Sea $S$ el conjunto de todos los enteros positivos de la forma $19a+85b$, donde $a,b$ son enteros positivos arbitrarios. En el eje real, los puntos de $S$ se colorean de rojo y los números enteros restantes se colorean de verde. Determina, con demostración, si existe o no un punto $A$ en el eje real tal que cualesquiera dos puntos con coordenadas enteras que sean simétricos respecto a $A$ tengan necesariamente colores distintos.

4 Hay $1985$ participantes en una reunión internacional. En cualquier grupo de tres participantes hay al menos dos que hablan el mismo idioma. Se sabe que cada participante habla como máximo cinco idiomas. Demuestra que existen al menos $200$ participantes que hablan el mismo idioma.

3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. Sea $E$ la intersección de las rectas paralelas a $AC$ y $BD$ que pasan por los puntos $B$ y $A$, respectivamente. Las rectas $EC$ y $ED$ intersecan nuevamente a la circunferencia circunscrita de $AEB$ en $F$ y $G$, respectivamente. Demuestra que los puntos $C$, $D$, $F$ y $G$ están sobre una circunferencia.