5 Considere un tablero $2023\times2023$ dividido en casillas unitarias. Dos casillas unitarias se llaman adyacentes si comparten al menos un vértice. Mahler y Srecko juegan un juego en este tablero. Inicialmente, Mahler tiene una ficha colocada en la casilla marcada con M , y Srecko tiene una ficha colocada en la casilla marcada con S (véase el anexo). Los jugadores mueven su ficha alternadamente, siguiendo tres reglas: 1. Una ficha solo puede moverse a una casilla unitaria adyacente a la que ocupa. 2. Una ficha no puede colocarse en una casilla unitaria sobre la que ya se haya colocado una ficha anteriormente (una vez usada, una casilla unitaria no puede volver a usarse jamás). 3. Una ficha no puede moverse a una casilla unitaria adyacente a la casilla ocupada por la ficha del oponente. Un jugador gana el juego si su ficha llega a la esquina diagonalmente opuesta a su posición inicial (es decir, Srecko se mueve a $s_p$ , Mahler se mueve a $m_p$ ) o si el oponente debe mover pero no tiene ningún movimiento legal. Mahler mueve primero. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora?

Determine todos los enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ que satisfacen la ecuación $$a^2+b^2+1=c!.$$ . Propuesto por Nikola Velov

Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales positivos tales que $a+b+c=3$ . Demuestre la desigualdad $$\frac{a^3}{a^2+1}+\frac{b^3}{b^2+1}+\frac{c^3}{c^2+1} \geq \frac{3}{2}.$$ . Propuesto por Anastasija Trajanova

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . La circunferencia $\Gamma$ con centro $H$ y radio $AH$ corta a las rectas $AB$ y $AC$ en los puntos $E$ y $F$ , respectivamente. Sean $E'$ , $F'$ y $H'$ los reflejos de los puntos $E$ , $F$ y $H$ respecto de la recta $BC$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $A$ , $E'$ , $F'$ y $H'$ están en una misma circunferencia. Propuesto por Jasna Ilieva

Un triángulo equilátero $T$ de lado $2022$ se divide en triángulos unitarios equiláteros mediante rectas paralelas a sus lados, obteniéndose una malla triangular. La malla se recubre con las figuras mostradas en la imagen inferior, que constan de $4$ triángulos unitarios equiláteros y pueden rotarse cualquier ángulo $k \cdot 60^{\circ}$ para $k \in \left \{1,2,3,4,5 \right \}$ . El recubrimiento satisface las siguientes condiciones: $1)$ Es posible no usar figuras de algún tipo y es posible usar varias figuras del mismo tipo. Los triángulos unitarios de las figuras se corresponden con los triángulos unitarios de la malla. $2)$ Todo triángulo unitario de la malla queda recubierto, no hay dos figuras superpuestas y toda figura está completamente contenida en $T$ . Determine el menor número posible de figuras de tipo $1$ que pueden usarse en un recubrimiento de este tipo. Propuesto por Ilija Jovcheski

Sea $n$ un entero positivo tal que $n^5+n^3+2n^2+2n+2$ es un cubo perfecto. Demuestre que $2n^2+n+2$ no es un cubo perfecto. Propuesto por Anastasija Trajanova

En la Olimpiada de este año, algunos de los estudiantes son amigos (la amistad es simétrica), pero también hay estudiantes que no son amigos. No importa cómo se repartan los estudiantes en dos salas de concurso, siempre hay dos amigos en salas distintas. Sea $A$ un estudiante fijo. Demuestre que existen estudiantes $B$ y $C$ tales que hay exactamente dos amistades en el grupo $\{ A,B,C \}$ . Autor: Mirko Petrushevski

Sea $ABCD$ un cuadrilátero circunscrito con circunferencia inscrita $k(O,r)$ que es tangente a los lados $BC$ y $AD$ en $K$ y $L$ , respectivamente. Demuestre que la circunferencia de diámetro $OC$ pasa por el punto de intersección de $KL$ y $OD$ . Propuesto por Ilija Jovchevski

Halle todos los enteros positivos $n$ y números primos $p$ tales que $$17^n \cdot 2^{n^2} - p =(2^{n^2+3}+2^{n^2}-1) \cdot n^2.$$ . Autor: Nikola Velov

Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2} = \frac{27}{4}.$ . Demuestre que: $$\frac{a^3+b^2}{a^2+b^2} + \frac{b^3+c^2}{b^2+c^2} + \frac{c^3+a^2}{c^2+a^2} \geq \frac{5}{2}.$$ . Autor: Nikola Velov