2 Dado un entero $n \geq 4$ , sea $m = 2^{n-3}$ . Defina el conjunto $$S_n = \{(\alpha_1, \dots, \alpha_m) \in \mathbb{R}^m \mid \alpha_1 \geq \dots \geq \alpha_m \geq 0 \text{ and } \alpha_1 + \dots + \alpha_m = 1\}.$$ Para $\alpha = (\alpha_1, \dots, \alpha_m), \beta = (\beta_1, \dots, \beta_m) \in S_n$ , defina la función distancia $$d(\alpha, \beta) = \sum_{i=1}^{m} |\alpha_i - \beta_i|.$$ Halle el menor número real positivo $\lambda$ tal que para cualesquiera $x_1, x_2, \dots, x_n \in S_n$ , se cumple la siguiente desigualdad: $$\sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} d(x_i, x_j) \leq \lambda.$$ Propuesto por Tianqin Li, Escuela Secundaria Afiliada a la Universidad Renmin de China

3 Sea \( n \) un entero positivo. Demuestre que existe una sucesión entera infinita \[ \ldots, t_{-1}, t_0, t_1, t_2, \ldots, t_n, \ldots \] tal que solo \( 2^n - n \) de sus términos son no nulos, y para cualesquiera \( n+2 \) términos consecutivos \( t_i, t_{i+1}, \ldots, t_{i+n+1} \) ( \( i \in \mathbb{Z} \) ) , existe un polinomio \( f(x) \) de grado a lo sumo \( n \) que satisface \[ |f(j) - t_j| \leq \frac{1}{2^n} \quad \text{for } j = i, i+1, \ldots, i+n+1. \] Propuesto por Lu Yiping

6 Demuestre que en cualquier triángulo la longitud de la bisectriz más corta no excede tres veces el radio de la circunferencia inscrita.

2 Demuestre que para todo número primo \(p\) , existen infinitos pares de enteros positivos \((m,n)\) tales que \([n\sqrt{p}] = \frac{3m^2 - m}{2}\) , donde \([x]\) denota la función parte entera. Propuesto por Qi Renrui

2 En $\triangle A{}BC$ , sea $AB > BC > CA$ . Sea la circunferencia inscrita tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $X, Y, Z$ , respectivamente. Sean las tres bisectrices internas de $\triangle AB{}C$ que intersecan a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$ , respectivamente. Sea $S$ el punto de Feuerbach de $\triangle A{}BC$ . Demuestre que $$\frac{SY}{BE} + \frac{SZ}{CF} = \frac{SX}{AD}.$$ Propuesto por Sheng Lu, Escuela Secundaria Superior de Lenguas Extranjeras Jiaxiang, Distrito Jinjiang, Chengdu https://i.postimg.cc/c4zDZPYq/tu-pian1.png

4 Dado un número primo $p$ , sea $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}_{\ge 0}$ una función tal que para todo entero $x$ , $f(x + p) = f(x)$ , $f(x)^3 + f(x^3) \ge 2$ . Halle el mínimo valor posible de $f(1) + f(2) + \cdots + f(p)$ . Propuesto por Tianqin Li, Universidad de Pekín

3 Sea $n$ un entero positivo impar. Dos jugadores, A y B, se turnan para elegir valores $a_1, a_2, \dots, a_{2n} \in [0, 1]$ . Sea $$S = \sum_{k=1}^{2n} (a_k - a_{k+1})^2$$ la puntuación del jugador A, donde $a_{2n+1} = a_1$ . Halle la puntuación máxima que el jugador A puede asegurarse. Propuesto por Yile Liu y Jiatong Zhang, de la Escuela Secundaria Xi'an Tie Yi

1 Halle todos los enteros positivos $d$ tales que para todo divisor positivo $k$ de $d$ , existe un $x_k \in \{1, 2, \dots, d\}$ que satisface: $$x_k^{\varphi(k)} \equiv 1 \pmod d,$$ y para cualesquiera $k_i \neq k_j$ , $x_{k_i} \neq x_{k_j}$ . Propuesto por Songzheng Yan, estudiante de la Escuela Secundaria Changjun, Changsha, Provincia de Hunan

1 Sean $I$ y $O$ el incentro y el circuncentro de $\triangle A{}BC$ , respectivamente. Sea la circunferencia inscrita $I$ tangente a $BC$ , $CA$ y $AB$ en los puntos $D, E,$ y $F$ . Sea $H$ la proyección de $D$ sobre $EF$ . Sean las rectas $AH$ y $O{}I$ que se intersecan en el punto $K$ , y sea $DK$ que interseca la circunferencia inscrita $I$ en otro punto $G$ . Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle BG{}C$ es tangente a la circunferencia inscrita $I$ . Propuesto por Haiyang Zhang, estudiante de la Escuela Experimental Yaohua de Shenzhen, Provincia de Guangdong

1 El estudiante $Q$ presenta un examen que consta de \(4a+1\) preguntas. Cada pregunta tiene $4$ opciones, solo una de las cuales es correcta, y la probabilidad de acertar al azar es \(\frac{1}{4}\) . Por cada pregunta, si la responde correctamente obtiene $4$ puntos; si la responde incorrectamente obtiene $0$ puntos; si la deja sin responder obtiene $1$ punto. La puntuación mínima para la medalla de oro es \(4b+1\) puntos, donde \(a\) y \(b\) son enteros positivos que satisfacen \(4(4a+1) \geq 4b+1\) y \(b \geq \frac{4}{3}a\) . Si el estudiante $Q$ no puede resolver ninguna de las preguntas, ¿cuántas preguntas debería intentar responder (es decir, adivinar) para maximizar la probabilidad de ganar la medalla de oro? Propuesto por Pu Hongming