8 Hay dos aerolíneas A y B y una cantidad finita de aeropuertos. Para cada par de aeropuertos, hay exactamente una aerolínea entre A y B cuyos vuelos operan en ambas direcciones. Cada aerolínea planea desarrollar paquetes de viaje por el mundo que pasen por cada aeropuerto exactamente una vez usando solo sus vuelos. Sean $a$ y $b$ los números de paquetes posibles que pertenecen a A y B , respectivamente. Demuestre que $a-b$ es un múltiplo de $4$ . El enunciado oficial del problema ha sido modificado. Lo anterior es la forma que apareció durante la competencia. Ahora se añade la condición 'el número de aeropuertos no es menor que 4'. Cite el siguiente enlace. https://artofproblemsolving.com/community/c6h2923697p26140823

1 Sea $f$ una función cuadrática que satisface la siguiente condición. Halle el valor de $\frac{f(8)-f(2)}{f(2)-f(1)}$ . Para dos números reales distintos $a,b$ , si $f(a)=f(b)$ , entonces $f(a^2-6b-1)=f(b^2+8)$ .

2 Halle todos los enteros positivos $N$ que tienen al menos $4$ divisores positivos, tales que la suma de los cuadrados de los $4$ divisores positivos más pequeños de $N$ es igual a $N$ .

3 Sea un triángulo escaleno $ABC$ , y denote por $M$ el punto medio de $BC$ . La mediatriz de $BC$ corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en el punto $P$ , en el mismo lado que $A$ con respecto a $BC$ . Sean los incentros de $ABM$ y $AMC$ , $I,J$ , respectivamente. Sean $\angle BAC=\alpha$ , $\angle ABC=\beta$ , $\angle BCA=\gamma$ . Halle $\angle IPJ$ .

4 Sea $ABCDE$ un pentágono convexo tal que $AB=BC=CD$, $\angle{EAB}=\angle{BCD}$, y $\angle{EDC}=\angle{CBA}$. Demuestra que la recta perpendicular desde $E$ a $BC$ y los segmentos $AC$ y $BD$ son concurrentes.

4 Para un entero positivo $n$ , denote por $p(n)$ el número de tuplas de enteros no negativos $(x,y,z,w)$ tales que $x+2y+2z+3w=n$ . Además, denote por $q(n)$ el número de tuplas de enteros no negativos $(a,b,c,d)$ tales que (i) $a+b+c+d=n$ (ii) $a \ge b \ge d$ (iii) $a \ge c \ge d$ Demuestre que para todo $n$ , $p(n) = q(n)$ .

5 Sea un triángulo escaleno acutángulo $ABC$ con circuncentro $O$ . Denote por $D,E$ los reflejos de $O$ con respecto a $AB,AC$ , respectivamente. La circunferencia circunscrita de $ADE$ corta a $AB$ , $AC$ , y a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $K,L,M$ , respectivamente, y todos son distintos de $A$ . Demuestre que las rectas $BC,KL,AM$ son concurrentes.

6 Sea una figura con $9$ discos y $11$ aristas, como se muestra a continuación. Escribiremos un número real en cada uno de los discos. Luego, para cada arista, escribiremos el cuadrado de la diferencia entre los dos números reales escritos en los dos discos que conecta la arista. Debemos escribir $0$ en el disco $A$ , y $1$ en el disco $I$ . Halle la suma mínima de todos los números reales escritos en las $11$ aristas.

7 Demuestre que no existe una función $f:\mathbb{R}_{\ge0}\rightarrow\mathbb{R}$ que satisfaga: $f(x+y^2)\ge f(x)+y$ para todos los números reales no negativos $x,y$ .

3 Halle todos los $n>1$ y los enteros $a_1,a_2,\dots,a_n$ que satisfacen las tres condiciones siguientes: (i) $2<a_1\le a_2\le \cdots\le a_n$ (ii) $a_1,a_2,\dots,a_n$ son divisores de $15^{25}+1$ . (iii) $2-\frac{2}{15^{25}+1}=\left(1-\frac{2}{a_1}\right)+\left(1-\frac{2}{a_2}\right)+\cdots+\left(1-\frac{2}{a_n}\right)$