A4 Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función no decreciente tal que $f(y) - f(x) < y - x$ para todos los números reales $x$ y $y > x$. La sucesión $u_1,u_2,\ldots$ de números reales satisface que $u_{n+2} = f(u_{n+1}) - f(u_n)$ para todo $n\geq 1$. Demuestra que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe un entero positivo $N$ tal que $|u_n| < \varepsilon$ para todo $n\geq N$.

G1 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una recta que pasa por $C$ corta al lado $AB$ en un punto interior $X$, y a la recta $AD$ en $Y$. Las tangentes a la circunferencia $AXY$ en $X$ y en $Y$, respectivamente, se cortan en $T$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $TXY$ se intersecan en dos puntos, uno que está sobre la recta $AT$ y el otro sobre la recta $CT$.

4 Para todo $a_1, a_2, \dots, a_6$ positivos, demuestra la desigualdad \[ \sqrt[4]{\frac{a_1}{a_2 + a_3 + a_4}} + \sqrt[4]{\frac{a_2}{a_3 + a_4 + a_5}} + \dots + \sqrt[4]{\frac{a_6}{a_1 + a_2 + a_3}} \ge 2 \]

4 Sea $a$ un número real, tal que $a\ne 0, a\ne 1, a\ne -1$ y $m,n,p,q$ números naturales. Demuestra que si $a^m+a^n=a^p+a^q$ y $a^{3m}+a^{3n}=a^{3p}+a^{3q}$, entonces $m \cdot n = p \cdot q$.

4 Sea $n \ge 4$. Considera subconjuntos $A_1, A_2, \dots, A_m$ de $\{1,2,\dots,n\}$ tales que $|A_i| = i$ para $i = 1,2,\dots,m$, y ningún conjunto está contenido en otro. Encuentra el valor máximo posible de $m$.

3 Para un entero positivo $n$, define $\text{P}_n = 1!\cdot 2!\cdot 3! \cdots (n-1)! \cdot n!$. a) Determina todos los enteros positivos $m$ tales que $\frac{\text{P}_{2020}}{m!}$ es un cuadrado perfecto. b) Demuestra que existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales $\frac{\text{P}_n}{m!}$ es un cuadrado perfecto para al menos dos enteros positivos distintos $m$.

1 En un triángulo \(ABC\), \(L\) y \(K\) son los puntos de intersección de las bisectrices de los ángulos \(\angle ABC\) y \(\angle BAC\) con los segmentos \(AC\) y \(BC\), respectivamente. El segmento \(KL\) es bisectriz del ángulo \(\angle AKC\), determina \(\angle BAC\).

Una sucesión de enteros positivos $(a_n)_{n \ge 1}$ se llama alagoana si, para todo entero positivo $n$, se cumplen las siguientes condiciones: $\bullet$ $a_{n!} = a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdots a_n$ $\bullet$ El número $a_n$ es la $n$-ésima potencia de un entero positivo. Determina todas las sucesiones alagoanas.

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $R$ y $S$ están en los segmentos $DC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AD = RC$ y $BC = SA$. Sean $P$, $Q$ y $M$ los puntos medios de $RD$, $BS$ y $CA$, respectivamente. Si $\angle MPC + \angle MQA = 90^\circ$, demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico.

2 Demuestra que todo entero positivo puede expresarse como una suma de potencias de $3$, $4$ y $7$, bajo la condición de que ninguna potencia $3^k$, $4^k$ o $7^k$ se use más de una vez. Por ejemplo: $2 = 7^0 + 7^0$ y $22 = 3^2 + 3^2 + 4^1$ no son representaciones válidas, ya que repiten la misma potencia. Sin embargo, $2 = 3^0 + 7^0$ y $22 = 3^2 + 3^0 + 4^1 + 4^0 + 7^1$ son representaciones válidas.