23 Demuestra que para todo número natural $k$ ( $k \geq 2$ ) existe un número irracional $r$ tal que para todo número natural $m$ , \[[r^m] \equiv -1 \pmod k .\] Observación. Una variante más fácil: Encuentra $r$ como raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes enteros. Propuesto por Yugoslavia. Amir

20 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestra que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$ , entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$ . (Problema 6 de la IMO) Formulación Original Sea $f(x) = x^2 + x + p$ , $p \in \mathbb N.$ Demuestra que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

3 Demuestra que la ecuación \[ x^n + 1 = y^{n+1}, \] donde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones en enteros positivos $x$ e $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son primos relativos.

3 Demuestra que la ecuación \[ x^n + 1 = y^{n+1}, \] donde $n$ es un entero positivo no menor que 2, no tiene soluciones en enteros positivos $x$ y $y$ para las cuales $x$ y $n+1$ son primos relativos.

4 Determina todos los enteros positivos $n$ tales que se cumple la siguiente afirmación: Si un polígono convexo con $2n$ lados $A_1 A_2 \ldots A_{2n}$ está inscrito en una circunferencia y $n-1$ de sus $n$ pares de lados opuestos son paralelos, lo que significa que los pares de lados opuestos \[(A_1 A_2, A_{n+1} A_{n+2}), (A_2 A_3, A_{n+2} A_{n+3}), \ldots , (A_{n-1} A_n, A_{2n-1} A_{2n})\] son paralelos, entonces los lados \[ A_n A_{n+1}, A_{2n} A_1\] también son paralelos.

5 En un sistema de coordenadas rectangulares, llamamos triangular a una recta horizontal paralela al eje $x$ si interseca la curva de ecuación \[y = x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s\] en los puntos $A,B,C$ y $D$ (de izquierda a derecha) de modo que los segmentos $AB, AC$ y $AD$ son los lados de un triángulo. Demuestra que las rectas paralelas al eje $x$ que intersecan la curva en cuatro puntos distintos son todas triangulares o ninguna de ellas es triangular.

6 Encuentra los dígitos a la izquierda y a la derecha del punto decimal en la forma decimal del número \[ (\sqrt{2} + \sqrt{3})^{1980}. \]

7 La función $f$ está definida en el conjunto $\mathbb{Q}$ de todos los números racionales y toma valores en $\mathbb{Q}$. Satisface las condiciones $f(1) = 2$ y $f(xy) = f(x)f(y) - f(x+y) + 1$ para todos $x,y \in \mathbb{Q}$. Determina $f$.

8 Tres puntos $A,B,C$ son tales que $B \in ]AC[$ . Sobre el lado de $AC$ dibujamos los tres semicírculos con diámetros $[AB], [BC]$ y $[AC]$ . La tangente interior común en $B$ a los dos primeros semicírculos corta al tercer círculo en $E$ . Sean $U$ y $V$ los puntos de contacto de la tangente exterior común a los dos primeros semicírculos. Denota el área del triángulo $ABC$ como $S(ABC)$ . Evalúa la razón $R=\frac{S(EUV)}{S(EAC)}$ en función de $r_1 = \frac{AB}{2}$ y $r_2 = \frac{BC}{2}$ .

9 Sea $p$ un número primo. Demuestra que no hay ningún número divisible por $p$ en la $n$-ésima fila del triángulo de Pascal si y solo si $n$ se puede representar en la forma $n = p^sq - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0, 0 < q < p$.