2 Dado un entero $ k > 1.$ Llamamos $ p -$ monótono a un entero decimal de $ k -$ dígitos $ a_{1}a_{2}\cdots a_{k}$ si, para cada entero $ i$ que satisface $ 1\le i\le k - 1,$ cuando $ a_{i}$ es un número impar se tiene $ a_{i} > a_{i + 1};$ y cuando $ a_{i}$ es un número par se tiene $ a_{i}<a_{i + 1}.$ Halle el número de enteros de $ k -$ dígitos que son $ p -$ monótonos. Fang-jh

3 Demuestre que para todos los números primos impares $p$ existen un número natural $m<p$ y enteros $x_1, x_2, x_3$ tales que: \[mp=x_1^2+x_2^2+x_3^2.\]

1 Cuando todos los ángulos de los vértices de un polígono convexo son iguales, se dice que el polígono es equiángulo. Demuestre que $ p > 2$ es un número primo si y solo si, cuando las longitudes de todos los lados de un polígono $ p$ equiángulo son números racionales, dicho polígono es un polígono $ p$ regular. Fang-jh

3 Sea $ n$ un entero positivo y sea $ A$ un subconjunto de $ \{1, 2, \cdots, n\}$ tal que, para cualesquiera dos números $ x, y\in A$, el mínimo común múltiplo de $ x$ y $ y$ no sea mayor que $ n$. Demuestre que $ |A|\leq 1.9\sqrt {n} + 5$.

2 Sean $ x_1, \ldots, x_n$ números reales con $ n>1$ que satisfacen $ A=\left |\sum^n_{i=1}x_i\right |\not =0$ y $ B=\max_{1\leq i<j\leq n}|x_j-x_i|\not =0$. Demuestre que, para cualesquiera $ n$ vectores $ \vec{\alpha_i}$ del plano, existe una permutación $ (k_1, \ldots, k_n)$ de los números $ (1, \ldots, n)$ tal que \[ \left |\sum_{i=1}^nx_{k_i}\vec{\alpha_i}\right | \geq \dfrac{AB}{2A+B}\max_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|.\]

2 Sea $ I$ el incentro del triángulo $ ABC.$ Sean $ M,N$ los puntos medios de $ AB,AC,$ respectivamente. Los puntos $ D,E$ se encuentran sobre $ AB,AC$ respectivamente, tales que $ BD=CE=BC.$ La recta perpendicular a $ IM$ que pasa por $ D$ corta a la recta perpendicular a $ IN$ que pasa por $ E$ en $ P.$ Demuestre que $ AP\perp BC.$ Fang-jh

3 Demuestre que en un conjunto formado por $\binom{2n}{n}$ personas podemos encontrar un grupo de $n+1$ personas en el que todos se conocen entre sí o nadie conoce a nadie. Math-lover123

3 Demuestre que existe un entero positivo $ k$ tal que $ k \cdot 2^{n} + 1$ es compuesto para todo $ n \in \mathbb{N}_{0}$ .

1 Sean $ a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$ números reales positivos que satisfacen $ a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{n} = 1$ . Demuestre que \[\left(a_{1}a_{2} + a_{2}a_{3} + \cdots + a_{n}a_{1}\right)\left(\frac {a_{1}}{a_{2}^2 + a_{2}} + \frac {a_{2}}{a_{3}^2 + a_{3}} + \cdots + \frac {a_{n}}{a_{1}^2 + a_{1}}\right)\ge\frac {n}{n + 1}\] Fang-jh

2 Tras multiplicar y simplificar el polinomio $ (x - 1)(x^2 - 1)(x^3 - 1)\cdots(x^{2007} - 1),$ eliminando todos los términos cuyas potencias son mayores que $ 2007,$ obtenemos un nuevo polinomio $ f(x).$ Halle su grado y el coeficiente del término de mayor potencia. Halle el grado de $ f(x) = (1 - x)(1 - x^{2})...(1 - x^{2007})$ $ (mod$ $ x^{2008}).$