A3 Dados números reales $b_0,b_1,\ldots, b_{2019}$ con $b_{2019}\neq 0$, sean $z_1,z_2,\ldots, z_{2019}$ las raíces en el plano complejo del polinomio \[ P(z) = \sum_{k=0}^{2019}b_kz^k. \] Sea $\mu = (|z_1|+ \cdots + |z_{2019}|)/2019$ el promedio de las distancias de $z_1,z_2,\ldots, z_{2019}$ al origen. Determina la constante más grande $M$ tal que $\mu\geq M$ para todas las elecciones de $b_0,b_1,\ldots, b_{2019}$ que satisfacen \[ 1\leq b_0 < b_1 < b_2 < \cdots < b_{2019} \leq 2019. \]

Sea $g$ una función con valores reales que es continua en el intervalo cerrado $[0,1]$ y dos veces diferenciable en el intervalo abierto $(0,1)$. Supón que para algún número real $r>1$, \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{g(x)}{x^r} = 0. \] Demuestra que o bien \[ \lim_{x\to 0^+}g'(x) = 0\qquad\text{o}\qquad \limsup_{x\to 0^+}x^r|g''(x)|= \infty. \]

A4 Sea $f$ una función real continua en $\mathbb R^3$. Supón que para toda esfera $S$ de radio $1$, la integral de $f(x,y,z)$ sobre la superficie de $S$ es igual a cero. ¿Debe ser $f(x,y,z)$ idénticamente cero?

Determina todos los valores posibles de $A^3+B^3+C^3-3ABC$ donde $A$, $B$ y $C$ son enteros no negativos.

B6 Sea $\mathbb{Z}^n$ el retículo entero en $\mathbb{R}^n$. Dos puntos en $\mathbb{Z}^n$ se llaman {\em vecinos} si difieren exactamente en 1 en una coordenada y son iguales en todas las demás coordenadas. ¿Para qué enteros $n \geq 1$ existe un conjunto de puntos $S \subset \mathbb{Z}^n$ que satisfaga las siguientes dos condiciones? (1) Si $p$ está en $S$, entonces ninguno de los vecinos de $p$ está en $S$. (2) Si $p \in \mathbb{Z}^n$ no está en $S$, entonces exactamente uno de los vecinos de $p$ está en $S$.

A1 Encuentra todos los pares ordenados $(a, b)$ de enteros positivos para los cuales \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{3}{2018}.\]

Sean $S_1, S_2, \dots, S_{2^n - 1}$ los subconjuntos no vacíos de $\{1, 2, \dots, n\}$ en algún orden, y sea $M$ la matriz de tamaño $(2^n - 1) \times (2^n - 1)$ cuya entrada $(i, j)$ es \[m_{ij} = \left\{ \begin{array}{cl} 0 & \text{si } S_i \cap S_j = \emptyset, \\ 1 & \text{en caso contrario}. \end{array} \right.\] Calcula el determinante de $M$.

A3 Determina el mayor valor posible de $\sum_{i = 1}^{10} \cos(3x_i)$ para números reales $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ que satisfacen $\sum_{i = 1}^{10} \cos(x_i) = 0$ .

A4. Sean $m$ y $n$ enteros positivos con $\gcd(m, n) = 1$, y sea \[ a_k = \left\lfloor \frac{mk}{n} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{m(k-1)}{n} \right\rfloor \] para $k = 1, 2, \dots, n$. Supón que $g$ y $h$ son elementos de un grupo $G$ y que \[ gh^{a_1} gh^{a_2} \cdots gh^{a_n} = e, \] donde $e$ es el elemento identidad. Demuestra que $gh = hg$. (Como siempre, $\lfloor x \rfloor$ denota el mayor entero menor o igual que $x$.)

A5 Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función infinitamente diferenciable que satisface $f(0) = 0$, $f(1) = 1$, y $f(x) \ge 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$. Demuestra que existen un entero positivo $n$ y un número real $x$ tales que $f^{(n)}(x) < 0$.