Todos los concursantes de una competencia están sentados en $n$ columnas y forman una configuración "buena". (Definimos una configuración como "buena" cuando no hay 2 amigos sentados en la misma columna). Es imposible que todos los estudiantes se sienten en $n-1$ columnas en una configuración "buena". Demuestre que siempre podemos elegir concursantes $M_1,M_2,...,M_n$ tales que $M_i$ esté sentado en la $i-th$ columna, para cada $i=1,2,...,n$ , y $M_i$ sea amigo de $M_{i+1}$ para cada $i=1,2,...,n-1$ .

Sean $k_1$ y $k_2$ dos circunferencias que se cortan entre sí en los puntos $A$ y $B$ . Una recta que pasa por $B$ corta a $k_1$ y $k_2$ en $C$ y $D$ , respectivamente, tal que $C$ no está dentro de $k_2$ y $D$ no está dentro de $k_1$ . Sea $M$ el punto de intersección de las rectas tangentes a $k_1$ y $k_2$ que pasan por $C$ y $D$ , respectivamente. Sea $P$ la intersección de las rectas $AM$ y $CD$ . La recta tangente a $k_1$ que pasa por $B$ interseca a $AD$ en el punto $L$ . La recta tangente a $k_2$ que pasa por $B$ interseca a $AC$ en el punto $K$ . Sean $KP \cap MD \equiv N$ y $LP \cap MC \equiv Q$ . Demuestre que $MNPQ$ es un paralelogramo.

Halle todos los números naturales $m$ que tienen exactamente tres divisores primos $p,q,r$ , tales que $$p-1\mid m; \quad qr-1 \mid m; \quad q-1 \nmid m; \quad r-1 \nmid m; \quad 3 \nmid q+r.$$

1 En un plano, 2014 rectas se distribuyen en 3 grupos. En cada grupo todas las rectas son paralelas entre sí. ¿Cuál es el número máximo de triángulos que se pueden formar, de modo que cada lado de cada uno de esos triángulos esté sobre una de las rectas?

2 Resuelva la siguiente ecuación en $\mathbb{Z}$ : \[3^{2a + 1}b^2 + 1 = 2^c\]

3 Sean $k_1, k_2$ y $k_3$ tres circunferencias con centros $O_1, O_2$ y $O_3$ , respectivamente, tales que ningún centro está dentro de las otras dos circunferencias. Las circunferencias $k_1$ y $k_2$ se intersecan en $A$ y $P$ , las circunferencias $k_1$ y $k_3$ se intersecan en $C$ y $P$ , las circunferencias $k_2$ y $k_3$ se intersecan en $B$ y $P$ . Sea $X$ un punto en $k_1$ tal que la recta $XA$ interseca a $k_2$ en $Y$ y la recta $XC$ interseca a $k_3$ en $Z$ , de modo que $Y$ no está ni dentro de $k_1$ ni dentro de $k_3$ y $Z$ no está ni dentro de $k_1$ ni dentro de $k_2$ . a) Demuestre que $\triangle XYZ$ es semejante a $\triangle O_1O_2O_3$ . b) Demuestre que $P_{\triangle XYZ} \le 4P_{\triangle O_1O_2O_3}$ . ¿Es posible alcanzar la igualdad? Nota: $P$ denota el área de un triángulo.

3 Sea $N$ un entero positivo y considere una cuadrícula de $N \times N$ . Un camino derecha-abajo es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda debajo de la celda anterior de la sucesión. Un camino derecha-arriba es una sucesión de celdas de la cuadrícula tal que cada celda está una celda a la derecha o una celda encima de la celda anterior de la sucesión. Demuestre que las celdas de la cuadrícula de $N \times N$ no pueden particionarse en menos de $N$ caminos derecha-abajo o derecha-arriba. Por ejemplo, la siguiente partición de la cuadrícula de $5 \times 5$ usa $5$ caminos. [asy] size(4cm); draw((5,-1)--(0,-1)--(0,-2)--(5,-2)--(5,-3)--(0,-3)--(0,-4)--(5,-4),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((1,-5)--(1,0)--(2,0)--(2,-5)--(3,-5)--(3,0)--(4,0)--(4,-5),gray+linewidth(0.5)+miterjoin); draw((0,0)--(5,0)--(5,-5)--(0,-5)--cycle,black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((0,-1)--(3,-1)--(3,-2)--(1,-2)--(1,-4)--(4,-4)--(4,-3)--(2,-3)--(2,-2),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((3,0)--(3,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((1,-4)--(1,-5),black+linewidth(2.5)+miterjoin); draw((4,-3)--(4,-1)--(5,-1),black+linewidth(2.5)+miterjoin); [/asy] Propuesto por Zixiang Zhou, Canadá

3 Sean $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ enteros positivos tales que $a_1,a_2,\dots,a_{2023}$ es una permutación de $1,2,\dots,2023$ , y $|a_1-a_2|,|a_2-a_3|,\dots,|a_{2022}-a_{2023}|$ es una permutación de $1,2,\dots,2022$ . Demuestre que $\max(a_1,a_{2023})\ge 507$ .

1 Sean $ p,q,r $ números primos. Resuelva la ecuación $ p^{2q}+q^{2p}=r $

4 Sean $a,b,c$ números reales tales que $a+b+c = 4$ y $a,b,c > 1$ . Demuestre que: \[\frac 1{a-1} + \frac 1{b-1} + \frac 1{c-1} \ge \frac 8{a+b} + \frac 8{b+c} + \frac 8{c+a}\]