2 Dados un entero positivo $k$ y un entero $a\equiv 3 \pmod{8}$ , demuestre que $a^m+a+2$ es divisible por $2^k$ para algún entero positivo $m$ . ThE-dArK-lOrD

3 Sea $n$ un entero positivo, y sean $a_1,a_2,..,a_n$ enteros positivos distintos dos a dos. Demuestre que $$\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{[a_1,a_2,…,a_k]}} <4,$$ donde $[a_1,a_2,…,a_k]$ es el mínimo común múltiplo de los enteros $a_1,a_2,…,a_k$ . ThE-dArK-lOrD

Halle el menor número natural $k$ tal que existan un número natural $n$ y números primos $p_1,p_2 , \dots , p_k$ tales que: $$p_1^2 + p_2^2 + \dots + p_k^2 = n!$$

Considera un plano \(\epsilon\) y tres puntos no colineales \(A,B,C\) situados del mismo lado de \(\epsilon\); supón que el plano determinado por estos tres puntos no es paralelo a \(\epsilon\). En el plano \(\epsilon\) toma tres puntos arbitrarios \(A',B',C'\). Sean \(L,M,N\) los puntos medios de los segmentos \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\); sea \(G\) el baricentro del triángulo \(LMN\). (No consideraremos posiciones de los puntos \(A', B', C'\) tales que los puntos \(L,M,N\) no formen un triángulo.) ¿Cuál es el lugar geométrico del punto \(G\) cuando \(A', B', C'\) varían independientemente sobre el plano \(\epsilon\)?

2 Sean $a,b$ y $c$ las longitudes de los lados de un triángulo. Entonces demuestra que $S\le\frac{a^2+b^2+c^2}{6}$, donde $S$ es el área del triángulo.

Se da un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ con ortocentro $H$ . El punto $H'$ es simétrico de $H$ respecto al lado $AB$ . Sea $N$ el punto de intersección de $HH'$ y $AB$ . La circunferencia que pasa por $A$ , $N$ y $H'$ interseca a $AC$ por segunda vez en $M$ , y la circunferencia que pasa por $B$ , $N$ y $H'$ interseca a $BC$ por segunda vez en $P$ . Demuestre que $M$ , $N$ y $P$ son colineales. Propuesto por Petar Filipovski

7 Dado un trapecio isósceles con bases $a$ y $c$ y altura $h$. a) Sobre el eje de simetría de este trapecio, encuentra todos los puntos $P$ tales que ambos lados no paralelos del trapecio subtiendan ángulos rectos en $P$; b) Calcula la distancia de $p$ a cualquiera de las bases; c) Determina bajo qué condiciones existen realmente tales puntos $P$. Discute los distintos casos que puedan presentarse.

5 Una sucesión de enteros $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ , $\ldots$ se elige de modo que $a_n = a_{n - 1} - a_{n - 2}$ para cada $n \ge 3$ . ¿Cuál es la suma de los primeros 2001 términos de esta sucesión si la suma de los primeros 1492 términos es 1985, y la suma de los primeros 1985 términos es 1492?

1 Sean $a,b$ y $c$ reales positivos tales que $abc=\frac{1}{8}$. Entonces demuestra que \[a^2+b^2+c^2+a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2\ge\frac{15}{16}\]

4 Los puntos $M, N, P$ se eligen sobre los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $\Delta ABC$ , tales que el triángulo $\Delta MNP$ es acutángulo. Denotamos con $x$ la longitud de la altura más corta del triángulo $\Delta ABC$ , y con $X$ la longitud de la altura más larga del triángulo $\Delta MNP$ . Demuestre que $x \leq 2X$ . Valentin