5 Sea $M$ el punto medio de $BC$ del triángulo $ABC$ . La circunferencia con diámetro $BC$ , $\omega$ , corta a $AB,AC$ en $D,E$ respectivamente. $P$ está dentro de $\triangle ABC$ tal que $\angle PBA=\angle PAC, \angle PCA=\angle PAB$ , y $2PM\cdot DE=BC^2$ . El punto $X$ está fuera de $\omega$ tal que $XM\parallel AP$ , y $\frac{XB}{XC}=\frac{AB}{AC}$ . Demuestre que $\angle BXC +\angle BAC=90^{\circ}$ .

1 (a) Resuelva para $\theta\in\mathbb{R}$ : $\cos(4\theta) = \cos(3\theta)$ (b) $\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)$ , $\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)$ y $\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)$ son las raíces de una ecuación de la forma $ax^3+bx^2+cx+d = 0$ donde $a, b, c, d$ son números enteros. Determine $a, b, c$ y $d$ . Kurt Gödel

1 1. Los números $1,2, \ldots$ se colocan en un triángulo de la siguiente manera: \[ \begin{matrix} 1 & & & \\ 2 & 3 & & \\ 4 & 5 & 6 & \\ 7 & 8 & 9 & 10 \\ \ldots \end{matrix} \] ¿Cuál es la suma de los números en la $n$ -ésima fila?

3 Sea $ABCD$ un cuadrado de lado $10$ . Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $[AB]$ y $[BC]$ , respectivamente. Se trazan tres círculos: uno con centro $D$ y radio $|AD|$ , uno con centro $M$ y radio $|AM|$ y uno con centro $N$ y radio $|BN|$ . Los tres círculos se intersecan en los puntos $R, S$ y $T$ en el interior del cuadrado. Determine el área de $\triangle RST$ .

2007.4 Considere los cuadrados $ABCD, CEDF$ y $BGHE$ como en la figura de la derecha. Demuestre que $| AC | = | CH |$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/6/4/e856525db9884b8b3c2b1fa2c195cf8e7c5f16.png

2013.2 Los puntos $M$ y $N$ se encuentran respectivamente sobre los lados $[BC]$ y $[CD]$ del cuadrado $ABCD$ tales que $| CM | = | DN |$ . Los segmentos $[DM]$ y $[BN]$ se intersecan entre sí en $P$ . Demuestre que $AP \perp MN$ .

1 Para todo entero positivo $n$ , sea $w\left(n\right)$ el número de divisores primos diferentes del número $n$ . (Por ejemplo, $w\left(12\right)=2$ . ) Demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que $w\left(n\right)<w\left(n+1\right)<w\left(n+2\right)$ . darij

5 Sea $\Omega$ el circuncírculo del triángulo $ABC$. El círculo $\omega$ es tangente a los lados $AC$ y $BC$, y es internamente tangente al círculo $\Omega$ en el punto $P$. Una recta paralela a $AB$ que interseca el interior del triángulo $ABC$ es tangente a $\omega$ en $Q$. Demuestra que $\angle ACP = \angle QCB$.

2 Sean $ a_i, b_i$ números reales positivos, $ i=1,2,\ldots,n$ , $ n\geq 2$ , tales que $ a_i<b_i$ , para todo $ i$ , y además \[ b_1+b_2+\cdots + b_n < 1 + a_1+\cdots + a_n.\] Demuestre que existe un $ c\in\mathbb R$ tal que para todo $ i=1,2,\ldots,n$ , y $ k\in\mathbb Z$ tenemos \[ (a_i+c+k)(b_i+c+k) > 0.\] Valentin

1 Dados dos dominios poligonales (idénticos) en el plano euclidiano, en general no es posible superponerlos usando solamente traslaciones y rotaciones. Demuestre que esto puede lograrse, sin embargo, dividiendo uno de los dominios en un número finito de subdominios poligonales que luego encajan, mediante traslaciones y rotaciones en el plano, para reconstruir el otro dominio.