Se da un triángulo $ABC$. El segmento que une los puntos donde las circunferencias exinscritas tocan a $AB$ y $AC$ corta a la bisectriz del ángulo $C$ en $X$. El segmento que une los puntos donde las circunferencias exinscritas tocan a $BC$ y $AC$ corta a la bisectriz del ángulo $A$ en $Y$. Demuestra que el punto medio de $XY$ equidista de $A$ y $C$.

Dado un polinomio \(f(x)\) con coeficientes racionales, de grado \(d \ge 2\), definimos la sucesión de conjuntos \(f^0(\mathbb{Q}), f^1(\mathbb{Q}), \ldots\) como \(f^0(\mathbb{Q})=\mathbb{Q}\), \(f^{n+1}(\mathbb{Q})=f(f^{n}(\mathbb{Q}))\) para \(n\ge 0\). (Dado un conjunto \(S\), escribimos \(f(S)\) para el conjunto \(\{f(x)\mid x\in S\}\)). Sea \(f^{\omega}(\mathbb{Q})=\bigcap_{n=0}^{\infty} f^n(\mathbb{Q})\) el conjunto de números que están en todos los conjuntos \(f^n(\mathbb{Q})\), \(n\geq 0\). Demuestra que \(f^{\omega}(\mathbb{Q})\) es un conjunto finito. Dan Schwarz, Rumania

Sea $n$ un entero positivo dado. Diremos que un conjunto $K$ de puntos con coordenadas enteras en el plano es conexo si para cada par de puntos $R, S\in K$, existe un entero positivo $\ell$ y una sucesión $R=T_0,T_1, T_2,\ldots ,T_{\ell}=S$ de puntos en $K$, donde cada $T_i$ está a distancia $1$ de $T_{i+1}$. Para tal conjunto $K$, definimos el conjunto de vectores \[\Delta(K)=\{\overrightarrow{RS}\mid R, S\in K\}\] ¿Cuál es el valor máximo de $|\Delta(K)|$ sobre todos los conjuntos conexos $K$ de $2n+1$ puntos con coordenadas enteras en el plano? Grigory Chelnokov, Rusia

Determina el menor entero $n$ para el cual existen enteros $x_1,\ldots,x_n$ y enteros positivos $a_1,\ldots,a_n$ tales que \begin{align*} x_1+\cdots+x_n &=0,\\ a_1x_1+\cdots+a_nx_n&>0, \text{ y }\\ a_1^2x_1+\cdots+a_n^2x_n &<0. \end{align*}

El profesor le dice a Pedro el producto de dos enteros positivos y a Sam su suma. Al principio, ninguno de ellos sabe el número del otro. Uno de ellos dice: *No puedes adivinar mi número*. Entonces el otro dice: *Te equivocas, el número es 136*. ¿Qué número les dijo el profesor a cada uno, respectivamente? Da razones para tu afirmación. Yimin

1 Barron Nürremberg afirma que elige dos semirrectas distintas y no opuestas $(OA$ y $(OB$ que comparten el mismo origen. Luego, afirma que puede elegir $20$ puntos distintos por pares, $10$ en cada semirrecta, etiquetados $K_1 , \dots , K_5 , L_1,\dots , L_5 \in (OA$ y $M_1,\dots, M_5,N_1,\dots ,N_5 \in (OB$ tales que, para cada par de índices distintos $(i,j)$, con $1 \leq i,j \leq 5$, las distancias $K_iM_j$ y $L_iN_j$ son iguales. ¿Pueden ser verdaderas todas las afirmaciones del barron?

2 Considera un entero positivo $n$ para el cual existen enteros positivos $a$ y $b$ tales que $\lfloor a\sqrt{10} \rfloor = n = \lfloor b\sqrt{11} \rfloor$. Demuestra que existe un entero positivo $c$ tal que $n=\lfloor c(11\sqrt{10}-10\sqrt{11}) \rfloor$.

3 Sean $m>k>1$ enteros positivos fijos. Encuentra el mayor valor del entero positivo $N$ para el cual la siguiente afirmación es verdadera: Considera una cuadrícula de $N \times N$ cuadrados unitarios. Podemos colocar $N$ fichas en los cuadrados unitarios de la cuadrícula, de modo que cada fila y cada columna tenga exactamente una ficha, y no exista un par de líneas entre las líneas de la cuadrícula del cuadrado, una horizontal y una vertical, tal que entre los cuatro rectángulos en que se divide el cuadrado, podamos encontrar dos de ellos que no compartan un lado, de modo que uno tenga al menos $m$ fichas y el otro al menos $k$ fichas.

4 Sea $v \geq 4$ un entero positivo fijo. Encuentra el menor entero positivo $e$ tal que para cualquier grafo conexo $G$ con $v$ vértices y $e$ aristas, exista un ciclo cuya eliminación no desconecte a $G$. (Eliminamos solo las aristas del ciclo, no los vértices)

5 Sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro de un triángulo acutángulo $\triangle ABC$, respectivamente. Sea la recta $OH$ que corta a $AB$ y $AC$ en los puntos $B'$ y $C'$. Los círculos $(AB'C')$ y $(ABC)$ se intersecan por segunda vez en el punto $S$. El punto $K$ está en $(ABC)$ tal que $AK$ es tangente a $(AB'C')$. Finalmente, sea $AH$ que corta a $(ABC)$ por segunda vez en el punto $M$. Demuestra que las rectas $BC$, $SM$ y $KH$ son concurrentes.