5. Considera una sucesión infinita $a_1,a_2, \cdots$ de enteros positivos tal que $$100!(a_m + a_{m+1} + \cdots + a_n) \text{ es un múltiplo de } a_{n-m+1}a_{m+n}$$ para todos los enteros positivos $m, n$ con $m\leq n$. Demuestra que la sucesión es o bien acotada o bien lineal. $\emph{Observación:}$ Una sucesión de enteros positivos es $\emph{acotada}$ si existe una constante $N$ tal que $a_n < N$ para todo $n\in \mathbb{Z}_{>0}$. Una sucesión es $\emph{lineal}$ si $a_n = na_1$ para todo $n\in \mathbb{Z}_{>0}$.

1 Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n,k$ y $M$ enteros positivos tales que $$\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}=k\quad\text{y}\quad a_1a_2\cdots a_n=M.$$ Si $M>1$, demuestra que el polinomio $$P(x)=M(x+1)^k-(x+a_1)(x+a_2)\cdots (x+a_n)$$ no tiene raíces positivas.

2 Sea un triángulo $ABC$ inscrito en una circunferencia $\Gamma$ con centro $O$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $D, E, F$ los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados $BC, AC, AB$ del triángulo $ABC$ , respectivamente. Sea también $S$ el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a la recta $EF$ . Demuestre que la recta $SI$ pasa por el punto antidiámetrico $N$ de $A$ en la circunferencia $\Gamma$ . ( $AN$ es un diámetro de la circunferencia $\Gamma$ ) .

1 Encuentra todos los pares de números naturales $ (a, b)$ tales que $ 7^a - 3^b$ divide a $ a^4 + b^2$ . Autor: Stephan Wagner, Austria Dida

3 Sea $ n$ un entero positivo, y sean $ x$ y $ y$ números reales positivos tales que $ x^n + y^n = 1.$ Demuestra que \[ \left(\sum^n_{k = 1} \frac {1 + x^{2k}}{1 + x^{4k}} \right) \cdot \left( \sum^n_{k = 1} \frac {1 + y^{2k}}{1 + y^{4k}} \right) < \frac {1}{(1 - x) \cdot (1 - y)}. \] Autor: Juhan Aru, Estonia

3 En el triángulo \(ABC\), sea \(\omega\) la excircunferencia opuesta a \(A\). Sean \(D, E\) y \(F\) los puntos donde \(\omega\) es tangente a \(BC, CA\) y \(AB\), respectivamente. La circunferencia \(AEF\) interseca a la recta \(BC\) en \(P\) y \(Q\). Sea \(M\) el punto medio de \(AD\). Demuestra que la circunferencia \(MPQ\) es tangente a \(\omega\).

2 Encuentra todos los enteros positivos \( n \) para los cuales los números del conjunto \( S = \{1,2, \ldots,n \} \) pueden colorearse de rojo y azul, de modo que se satisfaga la siguiente condición: El conjunto \( S \times S \times S \) contiene exactamente \( 2007 \) ternas ordenadas \( \left(x, y, z\right) \) tales que: (i) los números \( x \) , \( y \) , \( z \) son del mismo color, y (ii) el número \( x + y + z \) es divisible por \( n \) . Autor: Gerhard Wöginger, Países Bajos

1 Dado un triángulo equilátero de lado $k$ cm. Con rectas paralelas a sus lados, lo dividimos en $k^2$ triángulos equiláteros pequeños de lado $1$ cm. De esta manera se crea una cuadrícula triangular. En cada triángulo pequeño de lado $1$ cm colocamos exactamente un entero de $1$ a $k^2$ (inclusive), de modo que no haya dos triángulos con el mismo número. Con vértices en los puntos de la cuadrícula se definen hexágonos regulares de lados de $1$ cm. Llamaremos valor del hexágono a la suma de los números que están en los $6$ triángulos equiláteros pequeños que constituyen el hexágono. Halle (en términos del entero $k>4$ ) el valor máximo y el valor mínimo de la suma de los valores de todos los hexágonos .

2 Un triángulo no isósceles $\triangle ABC$ tiene su incírculo tangente a $BC, CA, AB$ en los puntos $D, E, F$. Sea el incentro $I$. Digamos que $AD$ corta al incírculo nuevamente en $G$, y sea la tangente al incírculo en $G$ la que corta a $AC$ en $H$. Sea $IH \cap AD = K$, y sea el pie de la perpendicular desde $I$ a $AD$ el punto $L$. Demuestra que $IE \cdot IK = IC \cdot IL$.

5 Igual que Juniors