1 Los números $ a,b,c$ son tales que la ecuación $ x^3 + ax^2 + bx + c$ tiene tres raíces reales. Demuestre que si $ - 2\leq a + b + c\leq 0$ , entonces al menos una de estas raíces pertenece al segmento $ [0,2]$

3 Dado un conjunto finito $ P$ de números primos, demuestre que existe un entero positivo $ x$ tal que puede escribirse en la forma $ a^p + b^p$ ( $ a,b$ son enteros positivos), para cada $ p\in P$ , y no puede escribirse de esa forma para cada $ p$ que no esté en $ P$ .

6 En un triángulo escaleno $ ABC$ , las alturas $ AA_{1}$ y $ CC_{1}$ se intersecan en $ H, O$ es el circuncentro y $ B_{0}$ el punto medio del lado $ AC$ . La recta $ BO$ interseca al lado $ AC$ en $ P$ , mientras que las rectas $ BH$ y $ A_{1}C_{1}$ se cortan en $ Q$ . Demuestre que las rectas $ HB_{0}$ y $ PQ$ son paralelas. Fang-jh

5 Determine todas las ternas de números reales $ x,y,z$ que satisfacen \[1+x^4\leq 2(y-z)^2,\quad 1+y^4\leq 2(x-z)^2,\quad 1+z^4\leq 2(x-y)^2.\]

8 En el plano cartesiano se dibujan varios rectángulos con los lados paralelos a los ejes de coordenadas. Suponga que cualesquiera dos rectángulos pueden ser cortados por una recta vertical o por una recta horizontal. Demuestre que es posible trazar una recta horizontal y una vertical tales que cada rectángulo sea cortado por al menos una de estas dos rectas.

4 Cada cara de un tetraedro puede colocarse en una circunferencia de radio $ 1$ . Demuestre que el tetraedro puede colocarse en una esfera de radio $ \frac{3}{2\sqrt2}$ . Fang-jh

2 A Petya y a Vasya se les dan conjuntos iguales de $ N$ pesas, en los cuales las masas de cualesquiera dos pesas están en una razón de a lo sumo $ 1.25$ . Petya logró dividir su conjunto en $ 10$ grupos de masas iguales, mientras que Vasya logró dividir su conjunto en $ 11$ grupos de masas iguales. Halle el menor $ N$ posible. Fang-jh

6 Un mago debe determinar el área de un $ 2008$ -gono convexo oculto $ A_{1}A_{2}\cdots A_{2008}$ . En cada paso elige dos puntos del perímetro, y los puntos elegidos pueden ser vértices o puntos que dividen a los lados seleccionados en razones seleccionadas. Luego su ayudante divide el polígono en dos partes mediante la recta que pasa por esos dos puntos y anuncia el área de la menor de las dos partes. Demuestre que el mago puede hallar el área del polígono en $ 2006$ pasos. Fang-jh

7 En un cuadrilátero convexo $ ABCD$ , los rayos $ BA,CD$ se cortan en $ P$ , y los rayos $ BC,AD$ se cortan en $ Q$ . $ H$ es la proyección de $ D$ sobre $ PQ$ . Demuestre que existe una circunferencia inscrita en $ ABCD$ si y solo si las circunferencias inscritas de los triángulos $ ADP,CDQ$ son visibles desde $ H$ bajo el mismo ángulo.

8 En un torneo de ajedrez participan $ 2n+3$ jugadores. Cada dos juegan exactamente una partida. El calendario es tal que no hay dos partidas que se jueguen al mismo tiempo, y cada jugador, después de participar en una partida, descansa en al menos $ n$ partidas siguientes (consecutivas). Demuestre que uno de los jugadores que juegan en la partida inaugural también jugará en la partida final.