3 Determine todas las funciones $f$ del conjunto de los enteros no negativos en sí mismo tales que $f(a + b) = f(a) + f(b) + f(c) + f(d)$ , siempre que $a, b, c, d$ , sean enteros no negativos que satisfacen $2ab = c^2 + d^2$ .

4 Para un número natural $ n, $ , una cadena $ s $ de $ n $ dígitos binarios y un número natural $ k\le n, $ , defina un $ n,s,k$ -bloque como una cadena de $ k $ elementos consecutivos de $ s. $ Decimos que dos $ n,s,k\text{-blocks} , $ , a saber, $ a_1a_2\ldots a_k,b_1b_2\ldots b_k, $ , son incompatibles si existe un $ i\in\{1,2,\ldots ,k\} $ tal que $ a_i\neq b_i. $ Además, para dos números naturales $ r\le n, l, $ , decimos que $ s $ es de tipo $ r,l $ si hay, a lo sumo, $ l $ $ n,s,r\text{-blocks} . $ incompatibles dos a dos. Sea $ 3,7\text{-typed} $ una cadena de tipo $ t $ que consta de $ 10000 $ dígitos binarios. Determine el número máximo $ M $ que satisface la condición de que $ t $ es de tipo $ 10,M\text{-typed} . $ . Cătălin Gherghe

1 Determine el mayor valor que la expresión $$ \sum_{1\le i<j\le 4} \left( x_i+x_j \right)\sqrt{x_ix_j} $$ puede alcanzar, cuando $ x_1,x_2,x_3,x_4 $ recorren los números reales no negativos y suman $ 1. $ Halle también los valores concretos de estos números que hacen que la suma anterior alcance el máximo pedido.

1 Sean $ I,O $ el incentro y, respectivamente, el circuncentro de un triángulo $ ABC. $ La $ A\text{-excircle} $ toca las rectas $ AB,AC,BC $ en $ K,L, $ , respectivamente, $ M. $ El punto medio de $ KL $ está sobre el circuncírculo de $ ABC. $ Demuestre que los puntos $ I,M,O $ son colineales. Павел Кожевников

2 Halle todos los pares de enteros $(m,n)$ tales que $m^6 = n^{n+1} + n -1$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB<BC$ . Sea $I$ el incentro de $ABC$ , y sea $\omega$ el circuncírculo de $ABC$ . La circunferencia inscrita de $ABC$ es tangente al lado $BC$ en $K$ . La recta $AK$ corta de nuevo a $\omega$ en $T$ . Sea $M$ el punto medio del lado $BC$ , y sea $N$ el punto medio del arco $BAC$ de $\omega$ . El segmento $NT$ interseca al circuncírculo de $BIC$ en $P$ . Demuestre que $PM\parallel AK$ .

3 Dado un entero $n\geq 2,$ , coloree de rojo exactamente $n$ casillas de una hoja infinita de papel cuadriculado. Un arreglo rectangular de casillas se llama especial si contiene al menos dos casillas rojas en esquinas opuestas; las casillas rojas individuales y los arreglos de 1 fila o 1 columna cuyas casillas extremas son ambas rojas son especiales. Dada una configuración de exactamente $n$ casillas rojas, sea $N$ el mayor número de casillas rojas que puede contener un arreglo rectangular especial. Determine el menor valor que $N$ puede tomar sobre todas las configuraciones posibles de exactamente $n$ casillas rojas.

Sea $ABCD$ un trapecio con $AD\parallel BC$ , y sean $E,F$ puntos sobre los lados $AB$ y $CD$ , respectivamente. El circuncírculo de $AEF$ corta de nuevo a $AD$ en $A_1$ , y el circuncírculo de $CEF$ corta de nuevo a $BC$ en $C_1$ . Demuestre que $A_1C_1,BD,EF$ son concurrentes.

Considere una colección finita de conjuntos de 3 elementos $A_i$ , de los cuales no hay dos que compartan más de un elemento, y cuya unión tiene cardinalidad 2017. Demuestre que los elementos de esta unión pueden colorearse con dos colores, azul y rojo, de modo que al menos 64 elementos sean azules y cada $A_i$ tenga al menos un elemento rojo.

Considere la sucesión de números racionales definida por $x_1=\frac{4}{3}$ , y $x_{n+1}=\frac{x_n^2}{x_n^2-x_n+1}$ . Demuestre que el numerador de la expresión en los términos más bajos de cada suma $x_1+x_2+...+x_k$ es un cuadrado perfecto.