6 Decimos que tres enteros distintos son amigables si uno de ellos divide al producto de los otros dos. Sea $n$ un entero positivo. a) Muestra que, entre $n^2$ y $n^2+n$, exclusivo, no existe ningún trío de números amigables. b) Determina si para cada $n$ existe un trío de números amigables entre $n^2$ y $n^2+n+3\sqrt{n}$, exclusivo.

4 En el planeta Marte hay $100$ estados que están en disputa. Para lograr una situación de paz, se deben formar bloques que cumplan las siguientes dos condiciones: (1) Cada bloque debe tener a lo más $50$ estados. (2) Cada par de estados debe estar junto en al menos un bloque. Encuentra el número mínimo de bloques que se deben formar.

Definición: Un número natural es abundante si la suma de sus divisores positivos es mayor que su doble. Encuentra un número abundante impar y demuestra que hay infinitos números abundantes impares.

1 Sea $\overline{abcd}$ uno de los 9999 números $0001, 0002, 0003, \ldots, 9998, 9999$. Sea $\overline{abcd}$ un número especial si $ab-cd$ y $ab+cd$ son cuadrados perfectos, $ab-cd$ divide a $ab+cd$ y también $ab+cd$ divide a $abcd$. Por ejemplo, 2016 es especial. Encuentra todos los números especiales $\overline{abcd}$. Nota: Si $\overline{abcd}=0206$, entonces $ab=02$ y $cd=06$.

5 Sea $ABC$ un triángulo inscrito en una circunferencia con centro $O$. Sean $D$ y $E$ puntos sobre los lados $AB$ y $BC$, respectivamente, tales que $AD = DE = EC$. Sea $X$ la intersección de las bisectrices de los ángulos $\angle ADE$ y $\angle DEC$. Si $X \neq O$, muestra que las rectas $OX$ y $DE$ son perpendiculares.

4 Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n$ . Encuentra todos los $n$ tales que $S(n)(S(n)-1)=n-1$ .

6 Dividimos el plano en cuadrados de lado 1, trazando rectas paralelas a los ejes de coordenadas. Cada cuadrado se pinta de blanco o negro. A cada segundo, recoloreamos todos los cuadrados simultáneamente, de acuerdo con la siguiente regla: cada cuadrado $Q$ adopta el color que más aparece en la configuración de cinco cuadrados indicada en la figura. El proceso de recoloreado se repite indefinidamente. Determina si existe una coloración inicial con una cantidad finita de cuadrados negros tal que siempre haya al menos un cuadrado negro, sin importar cuántos segundos hayan pasado desde el inicio del proceso.

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo, tal que $AB = CD$, $\angle BCD = 2 \angle BAD$, $\angle ABC = 2 \angle ADC$ y $\angle BAD \neq \angle ADC$. Determina la medida del ángulo entre las diagonales $AC$ y $BD$.

5 Sea $\mathbb{R}^{+}$ el conjunto de los números reales positivos. Determina todos los números reales no negativos $\alpha$ para los cuales existe una función $f:\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$ tal que $$f(x^{\alpha}+y)=(f(x+y))^{\alpha}+f(y)$$ para cualesquiera $x,y$ números reales positivos.

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo tal que $AB + BC = 4 AC$. Sea $D$ un punto en $AC$ tal que $BD$ es la bisectriz del ángulo $\angle ABC$. Sobre el segmento $BD$, se marcan los puntos $P$ y $Q$ tales que $BP = 2 \, DQ$. Sea la perpendicular desde $Q$ a $BD$ que interseca a $AB$ y $BC$ en los puntos $X$ e $Y$, respectivamente. Sea $L$ la recta que pasa por $P$ paralela a $AC$. El punto $B$ se encuentra en el semiplano opuesto determinado por $L$ respecto a los puntos $X$ e $Y$. Una hormiga comienza en el punto $X$, se mueve a un punto sobre la recta $AC$, luego a un punto sobre $L$, regresa a un punto sobre la recta $AC$, y finalmente termina en el punto $Y$. Demuestra que la longitud mínima del recorrido de la hormiga es $4 XY$.