5 Se da un tablero de $n\times n$ , con un entero escrito en cada casilla. En cada movimiento, puedo elegir cualquier casilla y sumar $1$ a todos los $2n-1$ números de su fila y su columna. Halle el mayor $N(n)$ tal que para cualquier elección inicial de enteros, pueda hacer un número finito de movimientos de modo que haya al menos $N(n)$ números pares en el tablero.

6 Los puntos $P_1, P_2,\cdots ,P_{2018} $ se colocan dentro o en la frontera de un pentágono regular dado. Halle todos los métodos de colocación para los cuales $$S=\sum_{1\leq i<j\leq 2018}|P_iP_j| ^2$$ alcanza el valor máximo.

1 Sea $n$ un entero positivo. Sea $A_n$ el conjunto de los primos $p$ tales que existen enteros positivos $a,b$ que satisfacen que $$\frac{a+b}{p} \text{ and } \frac{a^n + b^n}{p^2}$$ son ambos enteros coprimos con $p$ . Si $A_n$ es finito, sea $f(n)$ el cardinal $|A_n|$ . a) Demuestre que $A_n$ es finito si y solo si $n \not = 2$ . b) Sean $m,k$ enteros positivos impares y sea $d$ su mcd. Demuestre que $$f(d) \leq f(k) + f(m) - f(km) \leq 2 f(d).$$

2 Sean $n$ y $k$ enteros positivos y sea $$T = \{ (x,y,z) \in \mathbb{N}^3 \mid 1 \leq x,y,z \leq n \}$$ el cubo reticular de lado $n$ . Suponga que $3n^2 - 3n + 1 + k$ puntos de $T$ están coloreados de rojo de modo que si $P$ y $Q$ son puntos rojos y $PQ$ es paralelo a uno de los ejes coordenados, entonces todo el segmento $PQ$ consiste solamente de puntos rojos. Demuestre que existen al menos $k$ cubos unitarios de lado $1$ cuyos vértices están todos coloreados de rojo.

3 Sea $q$ un entero positivo que no es un cubo perfecto. Demuestre que existe una constante positiva $C$ tal que para todo número natural $n$ se tiene $$\{ nq^{\frac{1}{3}} \} + \{ nq^{\frac{2}{3}} \} \geq Cn^{-\frac{1}{2}}$$ donde $\{ x \}$ denota la parte fraccionaria de $x$ .

4 $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se intersecan en $P$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle APD$ interseca al segmento $AB$ en los puntos $A$ y $E$ . La circunferencia circunscrita de $\triangle BPC$ interseca al segmento $AB$ en los puntos $B$ y $F$ . Sean $I$ y $J$ los incentros de $\triangle ADE$ y $\triangle BCF$ , respectivamente. Los segmentos $IJ$ y $AC$ se cortan en $K$ . Demuestre que los puntos $A,I,K,E$ son cíclicos.

5 Sea $n \geq 3$ un número impar y suponga que cada casilla de un tablero de ajedrez de $n \times n$ está coloreada de negro o de blanco. Dos casillas se consideran adyacentes si son del mismo color y comparten un vértice común, y dos casillas $a,b$ se consideran conectadas si existe una sucesión de casillas $c_1,\ldots,c_k$ con $c_1 = a, c_k = b$ tal que $c_i, c_{i+1}$ son adyacentes para $i=1,2,\ldots,k-1$ . Halle el número máximo $M$ tal que existe una coloración que admite $M$ casillas disconexas dos a dos.

6 Sean $n > k$ dos números naturales y sean $a_1,\ldots,a_n$ números reales en el intervalo abierto $(k-1,k)$ . Sean $x_1,\ldots,x_n$ reales positivos tales que para cualquier subconjunto $I \subset \{1,\ldots,n \}$ que satisfaga $|I| = k$ , se tiene $$\sum_{i \in I} x_i \leq \sum_{i \in I} a_i.$$ Halle el mayor valor posible de $x_1 x_2 \cdots x_n$ .

1 Las sucesiones $\{u_{n}\}$ y $\{v_{n}\}$ están definidas por $u_{0} =u_{1} =1$ , $u_{n}=2u_{n-1}-3u_{n-2}$ $(n\geq2)$ , $v_{0} =a, v_{1} =b , v_{2}=c$ , $v_{n}=v_{n-1}-3v_{n-2}+27v_{n-3}$ $(n\geq3)$ . Existe un entero positivo $N$ tal que cuando $n> N$ , se tiene $u_{n}\mid v_{n}$ . Demuestre que $3a=2b+c$ .

1 Sean $z_1,z_2,...,z_n$ números complejos que satisfacen $|z_i - 1| \leq r$ para algún $r$ en $(0,1)$ . Demuestre que \[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]