Considera los números naturales de tres cifras. ¿Cuántos de ellos cumplen que, al sumar dos de sus dígitos, el resultado es el doble del dígito restante? Justifica tu respuesta.

3 $A$ y $B$ son dos contenedores cilíndricos que contienen agua. La altura del agua en $A$ es de $1000$ cm y en $B$, de $350$ cm. Usando una bomba, se transfiere agua de $A$ a $B$. Se nota que, en el contenedor $A$, la altura del agua disminuye $4$ cm por minuto y en $B$ aumenta $9$ cm por minuto. ¿Después de cuánto tiempo, desde que se encendió la bomba, las alturas en $A$ y $B$ serán iguales?

(a) En este dibujo, hay tres cuadros en cada lado del cuadrado. Coloca un número natural en cada casilla de manera que la suma de los números de dos casillas adyacentes sea siempre impar. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/e/6/75517b7d49857abd3f8f0430a70ae5b0eb1554.gif (b) En este dibujo, ahora hay cuatro cuadros en cada lado del triángulo. Justifica por qué no se puede colocar un número natural en cada casilla de modo que la suma de los números en dos casillas adyacentes sea siempre impar. https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/c/8/061895b9c1cdcb132f7d37087873b7de3fb5f3.gif (c) Si ahora dibujas un polígono con $51$ lados y en cada lado colocas $50$ casillas, cuidando que haya una casilla en cada vértice. ¿Puedes colocar un número natural en cada casilla de manera que la suma de los números en dos casillas adyacentes sea siempre impar? ¿Por qué?

2 En una competencia deportiva en la que se realizan varias pruebas, solo participan los tres atletas $A, B, C$. En cada evento, el ganador recibe $x$ puntos, el segundo recibe $y$ puntos y el tercero recibe $z$ puntos. No hay empates, y los números $x, y, z$ son enteros positivos distintos con $x$ mayor que $y$, y $y$ mayor que $z$. Al final de la competencia resulta que $A$ ha acumulado $20$ puntos, $B$ ha acumulado $10$ puntos y $C$ ha acumulado $9$ puntos. Sabemos que el atleta $A$ fue segundo en la prueba de 100 metros. Determina en cuál de los tres atletas fue segundo en la prueba de salto.

4 Dado un tablero de \(3 \times 3\) quieres escribir los números \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\) y un número en sus casillas entero positivo \(M\), no necesariamente distinto de los anteriores. La meta es que la suma de los tres números en cada fila sea la misma. \(a)\) Encuentra todos los valores de \(M\) para los cuales esto es posible. \(b)\) ¿Para cuáles de los valores de \(M\) encontrados en \(a)\) es posible acomodar los números de modo que no solo las tres filas sumen lo mismo sino también las tres columnas sumen lo mismo?

4 Sea $ABCD$ un trapecio de bases $AB$ y $CD$. Sea $O$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. Si el área del triángulo $ABC$ es $150$ y el área del triángulo $ACD$ es $120$, calcula el área del triángulo $BCO$.

C8 El país de ELMOpia tiene $n \ge 4$ ciudades, donde algunos pares de ciudades están conectados por una carretera. Un viajero astuto observa que para cualesquiera $2$ ciudades $A$ y $B$ , existen ciudades (distintas) $C$ y $D$ tales que $A-C$ , $C-B$ , $B-D$ , $D-A$ están todas conectadas por carreteras. Halle el número mínimo de carreteras en ELMOpia, en términos de $n$ . Rohan Bodke

Con 28 puntos se forma una “cuadrícula triangular” de lados iguales, como se muestra en la figura. Una operación consiste en elegir tres puntos que sean los vértices de un triángulo equilátero y eliminar esos tres puntos de la cuadrícula. Si después de realizar varias de estas operaciones solo queda un punto, ¿en qué posiciones puede quedar ese punto? Da todas las posibilidades e indica en cada caso las operaciones realizadas. Justifica por qué el punto restante no puede estar en otra posición.

52 Demuestra que un polígono regular con un número impar de lados no puede dividirse en cuatro piezas de áreas iguales mediante dos rectas que pasen por el centro del polígono.

2 Un rectángulo de papel de $3$ cm por $9$ cm se dobla a lo largo de una línea recta, haciendo que dos vértices opuestos coincidan. De esta manera se forma un pentágono. Calcula su área.