2 Para $n=1,2,\dots$ sea \[S_n=\log\left(\sqrt[n^2]{1^1 \cdot 2^2 \cdot \dotsc \cdot n^n}\right)-\log(\sqrt{n}),\] donde $\log$ denota el logaritmo natural. Halle $\lim_{n \to \infty} S_n$ .

3 ¿Para qué enteros positivos $n$ existe una matriz de $n \times n$ , $A$ , cuyas entradas están todas en $\{0,1\}$ , tal que $A^2$ es la matriz de todos unos?

4 Sean $g$ y $h$ dos elementos distintos de un grupo $G$ , y sea $n$ un entero positivo. Considere una sucesión $w=(w_1,w_2,\dots)$ que no es eventualmente periódica y donde cada $w_i$ es $g$ u $h$ . Denótese por $H$ el subgrupo de $G$ generado por todos los elementos de la forma $w_kw_{k+1}\dotsc w_{k+n-1}$ con $k \ge 1$ . Demuestre que $H$ no depende de la elección de la sucesión $w$ (pero puede depender de $n$ ) .

5 Sean $n>d$ enteros positivos. Elija $n$ puntos aleatorios independientes $x_1,\dots,x_n$ uniformemente distribuidos en la bola unitaria $B \subset \mathbb{R}^d$ centrada en el origen. Para un punto $p \in B$ , denótese por $f(p)$ la probabilidad de que la envolvente convexa de $x_1,\dots,x_n$ contenga a $p$ . Demuestre que si $p,q \in B$ y la distancia de $p$ al origen es menor que la distancia de $q$ al origen, entonces $f(p) \ge f(q)$ .

6 Demuestre que para cualquier función $f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Z}$ existen $a,b,c \in \mathbb{Q}$ tales que $a<b<c$ , $f(b) \ge f(a)$ y $f(b) \ge f(c)$ .

7 Sea $n$ un entero positivo. Suponga que $A$ y $B$ son matrices invertibles de $n \times n$ con entradas complejas tales que $A+B=I$ (donde $I$ es la matriz identidad) y \[(A^2+B^2)(A^4+B^4)=A^5+B^5.\] Halle todos los valores posibles de $\det(AB)$ para el $n$ dado.

8 Defina la sucesión $x_1,x_2,\dots$ por los términos iniciales $x_1=2, x_2=4$ y la relación de recurrencia \[x_{n+2}=3x_{n+1}-2x_n+\frac{2^n}{x_n} \quad \text{for} \quad n \ge 1.\] Demuestre que $\lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n}$ existe y satisface \[\frac{1+\sqrt{3}}{2} \le \lim_{n \to \infty} \frac{x_n}{2^n} \le \frac{3}{2}.\]

9 Una matriz $A=(a_{ij})$ se llama bonita si tiene las siguientes propiedades: (i) el conjunto de todas las entradas de $A$ es $\{1,2,\dots,2t\}$ para algún entero $t$ ; (ii) las entradas son no decrecientes en cada fila y en cada columna: $a_{i,j} \le a_{i,j+1}$ y $a_{i,j} \le a_{i+1,j}$ ; (iii) las entradas iguales solo pueden aparecer en la misma fila o en la misma columna: si $a_{i,j}=a_{k,\ell}$ , entonces $i=k$ o $j=\ell$ ; (iv) para cada $s=1,2,\dots,2t-1$ , existen $i \ne k$ y $j \ne \ell$ tales que $a_{i,j}=s$ y $a_{k,\ell}=s+1$ . Demuestre que para cualesquiera enteros positivos $m$ y $n$ , el número de matrices bonitas de $m \times n$ es par. Por ejemplo, las únicas dos matrices bonitas de $2 \times 3$ son $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 3\\2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$ .

11 Halle todos los conjuntos $ A$ de enteros no negativos con la propiedad: si para los enteros no negativos $m$ y $ n $ tenemos $m+n\in A$ entonces $m\cdot n\in A.$

10 Decimos que un entero positivo $n$ libre de cuadrados es casi primo si \[n \mid x^{d_1}+x^{d_2}+\dots+x^{d_k}-kx\] para todo entero $x$ , donde $1=d_1<d_2<\dots<d_k=n$ son todos los divisores positivos de $n$ . Suponga que $r$ es un primo de Fermat (es decir, un primo de la forma $2^{2^m}+1$ para un entero $m \ge 0$ ) , $p$ es un divisor primo de un entero casi primo $n$ , y $p \equiv 1 \pmod{r}$ . Muestre que, con la notación anterior, $d_i \equiv 1 \pmod{r}$ para todo $1 \le i \le k$ . (Un entero $n$ se llama libre de cuadrados si no es divisible por $d^2$ para ningún entero $d>1$ . )