5 Como se muestra en la figura, en el paralelogramo $ABCD$ , $I$ es el incentro de $\vartriangle BCD$ y $H$ es el ortocentro de $\vartriangle IBD$ . Demuestre que $\angle HAB=\angle HAD$ . https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/4/3/5fa16c208ef3940443854756ae7bdb9c4272ed.png

2 Sea $ABCD$ un rectángulo y $P$ un punto sobre el lado $AD$ tal que $\angle BPC = 90^o$. La perpendicular desde $A$ sobre $BP$ corta a $BP$ en $M$ y la perpendicular desde $D$ sobre $CP$ corta a $CP$ en $N$. Muestra que el centro del rectángulo se encuentra en el segmento $MN$.

3 En el triángulo escaleno $ABC$ , $\angle ACB=60$ y $\Omega$ es su circuncírculo. Sobre las bisectrices de los ángulos $BAC$ y $CBA$ se eligen los puntos $A^\prime$ , $B^\prime$ , respectivamente, tales que $AB^\prime \parallel BC$ y $BA^\prime \parallel AC$ . $A^\prime B^\prime$ interseca a $\Omega$ en $D,E$ . Demuestre que el triángulo $CDE$ es isósceles.(A. Kuznetsov)

Halle todos los enteros $n$ tales que existe un entero $x$ tal que : $$x^5-nx-(n+1)=0$$

4 Hay tres montones de fichas sobre la mesa: el primero contiene $a,$ el segundo contiene $b,$ y el tercero contiene $c$ donde $a \ge b \ge c.$ Los jugadores $A$ y $B$ se turnan jugando un juego de intercambio de fichas. $A$ comienza primero. En cada turno, el jugador al que le toca elige dos montones, luego toma al menos una ficha del montón con el menor número de fichas y las coloca en el montón con el mayor número de fichas. Si el número de fichas en los dos montones que elige es igual, entonces toma al menos una ficha de cualquiera de ellos y la pone en el otro. Si después del movimiento de un jugador solo queda un montón, ese jugador es considerado ganador. ¿Para qué valores de $a, b, c$ quién tiene la estrategia ganadora ( $A$ o $B$ ) ?

1 $ 8$ estudiantes participaron en un examen que contiene $ 8$ preguntas. Si se sabe que cada pregunta fue resuelta por al menos $ 5$ estudiantes, demuestre que siempre podemos encontrar $ 2$ estudiantes tales que cada una de las preguntas fue resuelta por al menos uno de ellos.

3 En un triángulo escaleno acutángulo $ABC$ , la bisectriz del ángulo agudo entre las alturas $AA_1$ y $CC_1$ corta a los lados $AB$ y $BC$ en $P$ y $Q$ respectivamente. La bisectriz del ángulo $B$ interseca al segmento que une el ortocentro de $ABC$ con el punto medio de $AC$ en el punto $R$ . Demuestre que $P$ , $B$ , $Q$ , $R$ están sobre un círculo.

5 El triángulo $ABC$ es rectángulo tal que $\angle ACB=90^{\circ}$ y $\frac {AC}{BC} = 2$ . Sea la recta paralela al lado $AC$ que interseca a los segmentos $AB$ y $BC$ en $M$ y $N$ tal que $\frac {CN}{BN} = 2$ . Sea $O$ el punto de intersección de las rectas $CM$ y $AN$ . Sobre el segmento $ON$ se encuentra el punto $K$ tal que $OM+OK=KN$ . Sea $T$ el punto de intersección de la bisectriz de $\angle ABC$ y la recta trazada desde $K$ perpendicular a $AN$ . Determine el valor de $\angle MTB$ .

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ tales que \[f(x+y)+f(y+z)+f(z+x)\ge 3f(x+2y+3z)\] para todo $x, y, z \in \mathbb R$ .

2 En la escuela olímpica los exámenes se califican con números enteros, la nota más baja posible es $0$ y la más alta es $10$. En la clase de aritmética el profesor toma dos exámenes. Este año tiene $15$ estudiantes. Cuando uno de sus estudiantes obtiene menos de $3$ en el primer examen y más de $7$ en el segundo, lo llama estudiante sobrelogrador. El profesor, al terminar de corregir los exámenes, promedió las $30$ notas y obtuvo $8$. ¿Cuál es el mayor número de estudiantes que aprobaron esta clase que podría haber tenido?