1 Sea $n$ un cuadrado con 4 dígitos, tal que todos sus dígitos son menores que 6. Si sumamos 1 a cada dígito, el número resultante es otro cuadrado. Encuentra $n$.

2 Encuentra la suma \[1+11+111+\cdots+\underbrace{111\ldots111}_{n\text{ dígitos}}.\]

1 Dos triángulos isósceles con lados $x,x,a$ y $x,x,b$ ( $a \neq b$ ) tienen áreas iguales. Encuentra $x$ .

2 Sea $ABCD$ un cuadrado con diagonales $AC$ y $BD$, y $P$ un punto en uno de los lados del cuadrado. Demuestra que la suma de las distancias desde $P$ a las diagonales es constante.

3 Demuestra que reduciendo las dimensiones de un cuboide no podemos obtener otro cuboide con la mitad del volumen y la mitad de la superficie.

1 Determina si existen $2018$ enteros positivos distintos tales que la suma de sus cuadrados sea un cubo perfecto y la suma de sus cubos sea un cuadrado perfecto.

2 Sea $P$ un punto exterior a una circunferencia $\Gamma$, y sea $PA$ una de las tangentes desde $P$ a $\Gamma$. La recta $l$ pasa por $P$ e interseca a $\Gamma$ en $B$ y $C$, con $B$ entre $P$ y $C$. Sea $D$ el simétrico de $B$ respecto de $P$. Sean $\omega_1$ y $\omega_2$ las circunferencias circunscritas a los triángulos $DAC$ y $PAB$, respectivamente. $\omega_1$ y $\omega_2$ se intersecan en $E \neq A$. La recta $EB$ corta de nuevo a $\omega_1$ en $F$. Demuestra que $CF = AB$.

3 Determina todas las ternas $\{a, b, c \}$ de enteros positivos coprimos (no necesariamente primos entre sí por pares) tales que $a + b + c$ divide simultáneamente a los tres números $a^{12} + b^{12}+ c^{12}$ , $ a^{23} + b^{23} + c^{23} $ y $ a^{11004} + b^{11004} + c^{11004}$.

5 El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en una circunferencia de radio $1$, de modo que $AB$ es un diámetro de la circunferencia y $CD = 1$. Un punto variable $X$ se mueve a lo largo del semicírculo determinado por $AB$ que no contiene a $C$ ni a $D$. Determina la posición de $X$ para la cual la suma de las distancias desde $X$ a las rectas $BC$, $CD$ y $DA$ es máxima.

3 Un número $p$ es $perfecto$ si la suma de sus divisores, excepto $p$, es $p$. Sea $f$ una función tal que: $f(n)=0$, si $n$ es perfecto $f(n)=0$, si el último dígito de $n$ es 4 $f(a.b)=f(a)+f(b)$ Encuentra $f(1998)$