2008 Los vértices $ A$ y $ B$ de un triángulo equilátero $ ABC$ están sobre un círculo $k$ de radio $1$ , y el vértice $ C$ está en el interior del círculo $ k$ . Un punto $ D$ , distinto de $ B$ , está sobre $ k$ tal que $ AD=AB$ . La recta $ DC$ interseca a $ k$ por segunda vez en el punto $ E$ . Halle la longitud del segmento $ CE$ .

Peter sumó un entero positivo $M{}$ a un entero positivo $N{}$ y notó que la suma de los dígitos del entero resultante es la misma que la suma de los dígitos de $N{}$ . Luego sumó $M{}$ al resultado nuevamente, y así sucesivamente. ¿Llegará Peter eventualmente a obtener un número con la misma suma de dígitos que el número $N{}$ otra vez?

Halle el máximo entero $m$ tal que $m! \cdot 2022!$ es un factorial de un entero.

Considere dos circunferencias concéntricas $\Omega$ y $\omega$ . La cuerda $AD$ de la circunferencia $\Omega$ es tangente a $\omega$ . Dentro del segmento circular menor $AD$ de $\Omega$ , se selecciona un punto arbitrario $P{}$ . Las rectas tangentes trazadas desde el punto $P{}$ a la circunferencia $\omega$ intersecan el arco mayor $AD$ de la circunferencia $\Omega$ en los puntos $B{}$ y $C{}$ . Los segmentos de recta $BD$ y $AC$ se intersecan en el punto $Q{}$ . Demuestre que el segmento de recta $PQ$ pasa por el punto medio del segmento de recta $AD$ . Nota. Una circunferencia junto con su interior se llama disco, y una cuerda $XY$ de la circunferencia divide al disco en segmentos circulares: un segmento circular menor $XY$ (el de menor área) y un segmento circular mayor $XY$ .

En un cuadrado cuadriculado, hay una puerta cerrada entre cualesquiera dos casillas adyacentes por un lado. Un escarabajo parte de alguna casilla y viaja a través de las casillas, pasando por las puertas; abre una puerta cerrada en la dirección en la que se mueve y deja esa puerta abierta. A través de una puerta abierta, el escarabajo solo puede pasar en la dirección en la que la puerta fue abierta. Demuestre que si en cualquier momento el escarabajo quiere volver a la casilla de partida, le es posible hacerlo.

En una progresión aritmética infinita de enteros positivos hay dos enteros con la misma suma de dígitos. ¿Habrá necesariamente un entero más en la progresión con la misma suma de dígitos? Propuesto por A. Shapovalov

Se sabe que entre varios billetes de valores nominales distintos dos a dos (que son enteros positivos) hay exactamente $N{}$ falsificaciones. En una sola prueba, un detector determina la suma de los valores nominales de todos los billetes reales de un conjunto arbitrario que hayamos seleccionado. Demuestre que usando el detector $N{}$ veces, todas las falsificaciones pueden ser identificadas, si a) $N=2$ y b) $N=3$ . Propuesto por S. Tokarev

Hay $N{}$ amigos y una pizza redonda. Se permite hacer no más de $100{}$ cortes rectos sin mover las porciones hasta que todos los cortes estén hechos; luego las porciones resultantes se distribuyen entre todos los amigos de modo que cada uno reciba una porción de pizza de igual área total. ¿Existe un corte que produzca el resultado anterior si a) $N=201$ y b) $N=400$ ?

Cien amigos, incluyendo a Alice y a Bob, viven en varias ciudades. Alice ha determinado la distancia desde su ciudad a la ciudad de cada uno de los otros 99 amigos y ha sumado estos 99 números. El total de Alice es 1000 km. Bob sumó de manera similar sus distancias a todos los demás. ¿Cuál es el mayor total que Bob podría haber obtenido? (Considere las ciudades como puntos en el plano; si dos personas viven en la misma ciudad, la distancia entre sus ciudades se considera cero).

Los números $1, 19, 199, 1999,\ldots$ están escritos en varias tarjetas, una tarjeta para cada número. ¿Es posible elegir al menos tres tarjetas de modo que la suma de los números en las tarjetas elegidas sea igual a un número en el que todos los dígitos, excepto un solo dígito, sean doses? Suponga que ha elegido varias tarjetas de modo que la suma de los números en las tarjetas elegidas sea igual a un número, todos cuyos dígitos son doses, excepto un solo dígito. ¿Cuál puede ser este único dígito diferente?