$2024$ números reales positivos cuya suma es $1$ están dispuestos sobre una circunferencia. Se sabe que cualesquiera dos números adyacentes difieren al menos en un factor de $2$ . Para cada par de números adyacentes, se restó el menor del mayor, y luego se sumaron todas estas diferencias. ¿Cuál es el menor valor posible de esta suma resultante? Propuesto por Oleksiy Masalitin

Se eligen los puntos $E, F$ en los lados $AC, AB$ , respectivamente, del triángulo $ABC$ con $AC=AB$ , de modo que $AE = BF$ . Se escoge el punto $D$ de manera que $D, A$ estén en el mismo semiplano respecto a la recta $EF$ , y $\triangle DFE \sim \triangle ABC$ . Las rectas $EF, BC$ se intersecan en el punto $K$ . Demuestre que la recta $DK$ es tangente a la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ . Propuesto por Fedir Yudin

Para números reales $a, b, c, d \in [0, 1]$ , halle el mayor valor posible de la siguiente expresión: $$a^2+b^2+c^2+d^2-ab-bc-cd-da$$ Propuesto por Mykhailo Shtandenko

Se da un hexágono convexo con lados opuestos paralelos. Para cada par de lados opuestos se traza una recta paralela a estos lados y equidistante de ellos. Demuestre que las tres rectas así obtenidas se intersecan en un punto si y solo si las longitudes de los lados opuestos son iguales. Propuesto por Nazar Serdyuk

Halle todos los enteros positivos compuestos e impares cuyos divisores pueden dividirse en pares de modo que la suma de los números de cada par sea una potencia de dos, y cada divisor pertenezca exactamente a uno de tales pares. Propuesto por Anton Trygub

Igual que 8.8

Solomiya escribió los números $1, 2, \ldots, 2024$ en el pizarrón. En un movimiento, puede borrar cualesquiera dos números $a, b$ del pizarrón y escribir la suma $a+b$ en lugar de cada uno de ellos. Después de algún tiempo, todos los números del pizarrón se volvieron iguales. ¿Cuál es el número mínimo de movimientos que Solomiya podría hacer para lograrlo? Propuesto por Oleksiy Masalitin

Se da un entero positivo $n$ . Halle el menor entero positivo $k$ para el cual existen enteros $a_1, a_2, \ldots, a_k$ tales que se cumple la siguiente igualdad: $$2^{a_1} + 2^{a_2} + \ldots + 2^{a_k} = 2^n - n + k$$ Propuesto por Mykhailo Shtandenko

Las alturas $AH_A, BH_B, CH_C$ del triángulo $ABC$ se intersecan en $H$ , y sea $M$ el punto medio del lado $AC$ . La bisectriz $BL$ de $\triangle ABC$ interseca a $H_AH_C$ en el punto $K$ . La recta que pasa por $L$ paralela a $HM$ interseca a $BH_B$ en el punto $T$ . Demuestre que $TK = TL$ . Propuesto por Anton Trygub

Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera $x, y \in \mathbb{R}$ se cumple lo siguiente: $$f(x)f(yf(x)) + yf(xy) = xf(xy) + y^2f(x)$$ Propuesto por Mykhailo Shtandenko