10.4 Sea $(x_n)$ una sucesión infinita de números reales del intervalo $(0, 1)$ . Una sucesión infinita $(a_n)$ de enteros positivos se define como sigue: $a_1 = 1$ y, para $i \ge 1$ , $a_{i+1}$ es igual al menor entero positivo $m$ para el cual $[x_1 + x_2 + \ldots + x_m] = a_i$ . Muestre que para cualesquiera índices $i, j$ se cumple $a_{i+j} \ge a_i + a_j$ . Propuesto por Nazar Serdyuk

10.5 Igual que 8.6

10.6 Sean $P(x), Q(x), R(x)$ polinomios con coeficientes enteros, tales que $P(x) = Q(x)R(x)$ . Denotemos por $a$ y $b$ los mayores valores absolutos de los coeficientes de $P, Q$ respectivamente. ¿Se cumple siempre $b \le 2023a$ ? Propuesto por Dmytro Petrovsky

10.7 Se tienen $n \ge 2$ enteros positivos distintos. Para cada par $a<b$ de ellos, Vlada escribe en el pizarrón la mayor potencia de $2$ que divide a $b-a$ . ¿A lo sumo cuántas potencias de $2$ distintas pudo haber escrito Vlada? Propuesto por Oleksiy Masalitin

10.8 Considere un grafo completo con $4046$ vértices, cuyas aristas están coloreadas con algunos colores. Llamemos a este grafo $k$ - bueno si podemos dividir todos sus vértices en $2023$ pares de modo que haya exactamente $k$ colores distintos entre los colores de las $2023$ aristas que conectan los vértices de los mismos pares. ¿Es posible que el grafo sea $999$ - bueno y $1001$ - bueno pero no $1000$ - bueno? Propuesto por Anton Trygub

11.1 El conjunto $M$ contiene $n \ge 2$ enteros positivos. Se sabe que para cualesquiera dos $a, b \in M$ diferentes, $a^2+1$ es divisible por $b$ . ¿Cuál es el mayor valor posible de $n$ ? Propuesto por Oleksiy Masalitin

11.2 Se eligen puntos $A_1, A_2, \ldots, A_{2022}$ en un plano de modo que no haya tres de ellos colineales. Considere todos los ángulos $A_iA_jA_k$ para puntos distintos $A_i, A_j, A_k$ . ¿Cuál es el mayor número posible de estos ángulos que pueden ser iguales a $90^\circ$ ? Propuesto por Anton Trygub

11.3 En el cuadrilátero $ABCD$ $\angle ABC = \angle CDA = 90^\circ$ . Sean $P = AC \cap BD$ , $Q = AB\cap CD$ , $R = AD \cap BC$ . Sea $\ell$ la base media del triángulo $PQR$ , paralela a $QR$ . Muestre que la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las rectas $AB, AD, \ell$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo formado por las rectas $CD, CB, \ell$ . Propuesto por Fedir Yudin

11.4 Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para cualesquiera reales $x, y$ se cumple lo siguiente: $$f(x+yf(x+y)) = f(y^2) + xf(y) + f(x)$$ Propuesto por Vadym Koval

11.5 Llamemos mixto a un polinomio si tiene coeficientes positivos y negativos a la vez ( $0$ no se considera positivo ni negativo). ¿El producto de dos polinomios mixtos es siempre mixto? Propuesto por Vadym Koval