N8 Determine todas las funciones $f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ tales que, para todos los enteros positivos $a$ y $b$ , \[ f^{bf(a)}(a+1)=(a+1)f(b). \] KevinYang2.71

3 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle A = 90^o, \angle B = 75^o$ y $AB = 2$ . Los puntos $P$ y $Q$ sobre los lados $AC$ y $BC$ respectivamente son tales que $\angle APB = \angle CPQ$ y $\angle BQA = \angle CQP$ . Calcule la medida del segmento $QA $ .

2 Tres jugadores $A,B$ y $C$ se turnan para retirar piedras de una pila de $N$ piedras. Se mueven en el orden $A,B,C,A,B,C,…A$ . Comienza el juego, y el que saca la última piedra pierde el juego. Los jugadores $A$ y $C$ se alían contra $B$ y acuerdan una estrategia conjunta. $B$ puede sacar en cada jugada $1,2,3,4$ o $5$ piedras, mientras que $A$ y $C$ pueden sacar cada uno $1,2$ o $3$ piedras en cada turno. Determine para qué valores de $N$ tienen estrategia ganadora $A$ y $C$ , y para qué valores la estrategia ganadora es de $B$ . .

1 Para $k=1,2,\ldots ,2011$ denotamos $S_k=\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}+\cdots +\frac{1}{2011}$ . Calcule la suma $S_1+S_1^2+S_2^2+\cdots +S_{2011}^2$ .

G3 Sea $ABC$ un triángulo, y sean $\omega_1,\omega_2$ con centros en $O_1$ , $O_2$ y tangentes a la recta $BC$ en $B$ , $C$ respectivamente. Sea la recta $AB$ que corta a $\omega_1$ de nuevo en $X$ y sea la recta $AC$ que corta a $\omega_2$ de nuevo en $Y$ . Si $Q$ es la otra intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $AXY$ , entonces demuestre que las rectas $AQ$ , $BC$ y $O_1O_2$ o bien concurren o bien son todas paralelas. Advaith Avadhanam

2 Sea $X=\{1,2,\ldots,2001\}$ . Halle el entero positivo más pequeño $m$ tal que para cada subconjunto $W\subset X$ con $m$ elementos, existan $u,v\in W$ (no necesariamente distintos) tales que $u+v$ sea de la forma $2^{k}$ , donde $k$ es un entero positivo.

1 Dada una $n$ - tupla ordenada $A=(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$ de números reales, donde $n\ge 2$ , definimos $b_k=\max{a_1,\ldots a_k}$ para cada k. Definimos $B=(b_1,b_2,\cdots ,b_n)$ como la «tupla innovada» de $A$ . El número de elementos distintos de $B$ se denomina el «grado innovado» de $A$ . Considere todas las permutaciones de $1,2,\ldots ,n$ como una $n$ - tupla ordenada. Halle la media aritmética del primer término de las permutaciones cuyos grados innovados son todos iguales a $2$ .

6 En cada casilla de un tablero de $2012\times 2012$ hay una persona. Las personas son o bien honestas, que siempre dicen la verdad, o bien mentirosas, que siempre mienten. En un momento dado, cada persona hace la misma afirmación: "En mi fila hay la misma cantidad de mentirosos que en mi columna." Determine el número mínimo de personas honestas que puede haber en el tablero.

5 Dada una sucesión finita con términos en el conjunto $A=\{0,1,…,121\}$ , está permitido reemplazar cada término por un número del conjunto $A$ de modo que términos iguales se reemplacen por números iguales, y términos distintos por números distintos. (Pueden quedar términos sin reemplazar.) El objetivo es obtener, a partir de una sucesión dada, mediante varios de tales cambios, una nueva sucesión con suma divisible por $121$ . Demuestre que es posible lograr el objetivo para toda sucesión inicial. redacción original Dada una secuencia finita con términos en el conjunto A={0,1,…,121} , está permitido reemplazar cada término por un número del conjunto A de modo que términos iguales se reemplacen por números iguales, y términos distintos por números distintos. (Pueden quedar términos sin reemplazar.) El objetivo es obtener, a partir de una sucesión dada, mediante varios de tales cambios, una nueva sucesión con suma divisible por 121 . Demostrar que es posible lograr el objetivo para toda sucesión inicial.

4 Para cada número natural $n$ denotamos por $a_n$ el mayor cuadrado perfecto menor o igual que $n$ y por $b_n$ el menor cuadrado perfecto mayor que $n$ . Por ejemplo $a_9=3^2$ , $b_9=4^2$ y $a_{20}=4^2$ , $b_{20}=5^2$ . Calcule: $$\frac{1}{a_1b_1}+\frac{1}{a_2b_2}+\frac{1}{a_3b_3}+\ldots +\frac{1}{a_{600}b_{600}}$$