En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Suponga que $k \geq 2$ es un entero tal que para todo $x, y \in G$ e $i \in \{k-1, k, k+1\}$ se cumple la relación $(xy)^{i}= x^{i}y^{i}$ . Demuestre que $G$ es abeliano. N.T.TUAN

En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Suponga que $n \geq 1$ es tal que la aplicación $x \mapsto x^{n}$ de $G$ en sí mismo es un isomorfismo. Demuestre que para cada $a \in G, a^{n-1}\in Z (G).$ N.T.TUAN

En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Demuestre que todo elemento de $S_{n}$ es un producto de $2$ - ciclos. N.T.TUAN

En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Sean $H \leq G$ y $a, b \in G.$ Demuestre que $|aH \cap Hb|$ es cero o un divisor de $|H |.$ N.T.TUAN

10.2 Halle todos los enteros positivos $k$ para los cuales existen enteros positivos $x, y$ tales que $\frac{x^ky}{x^2+y^2}$ es un primo.

Demuestre que para cualquier cuadrilátero convexo siempre es posible recortar tres cuadriláteros más pequeños semejantes al original con factor de escala igual a 1/2. (Los ángulos de un cuadrilátero más pequeño son iguales a los ángulos correspondientes del original y los lados son dos veces más pequeños que los lados correspondientes del cuadrilátero original.)

En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Sea $H \leq G, |H | = 3.$ ¿Qué se puede decir acerca de $|N_{G}(H ) : C_{G}(H )|$ ? N.T.TUAN

En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Sean $a, b \in G.$ Suponga que $ab^{2}= b^{3}a$ y $ba^{2}= a^{3}b.$ Demuestre que $a = b = 1.$ N.T.TUAN

En las preguntas siguientes: $G$ es un grupo finito; $H \leq G$ un subgrupo de $G; |G : H |$ el índice de $H$ en $G; |X |$ el número de elementos de $X \subseteq G; Z (G)$ el centro de $G; G'$ el subgrupo conmutador de $G; N_{G}(H )$ el normalizador de $H$ en $G; C_{G}(H )$ el centralizador de $H$ en $G$ ; y $S_{n}$ el $n$ - ésimo grupo simétrico. Suponga que $|G'| = 2$ . Demuestre que $|G : G'|$ es par. N.T.TUAN

1 Suponga que $f(x)$ es un polinomio con coeficientes enteros tal que $f(0) = 11$ y $f(x_1) = f(x_2) = ... = f(x_n) = 2002$ para algunos enteros distintos $x_1, x_2, . . . , x_n$ . Halle el mayor valor posible de $n$ .