5 Sea $N$ un entero positivo. El Reino de Wierdo tiene $N$ castillos, con a lo sumo un camino entre cada par de ciudades. Hay a lo sumo cuatro guardias en cada camino. Para reducir costos, el Rey de Wierdo establece la siguiente política: (1) Para cualesquiera tres castillos, si hay caminos entre cualesquiera dos de ellos, entonces ninguno de estos caminos puede tener cuatro guardias. (2) Para cualesquiera cuatro castillos, si hay caminos entre cualesquiera dos de ellos, entonces para cualquier castillo entre ellos, los caminos que van desde él hacia los otros tres castillos no pueden tener todos tres guardias. Demuestre que, bajo esta política, el número total de guardias en los caminos del Reino de Wierdo es menor o igual que $N^2$ . Observación : Demostrar que el número de guardias no excede $cN^2$ para algún $c > 1$ independiente de $N$ será calificado según el valor de $c$ . Propuesto por usjl

4 Halle todos los enteros positivos $a$ , $b$ y $c$ tales que $ab$ es un cuadrado, y \[a+b+c-3\sqrt[3]{abc}=1.\] Propuesto por usjl

6 Hay un triángulo equilátero $ABC$ en el plano. Tres rectas pasan por $A$ , $B$ y $C$ , respectivamente, tales que las intersecciones de estas rectas forman un triángulo equilátero dentro de $ABC$ . En cada turno, Ming elige una intersección de dos rectas dentro de $ABC$ , y traza la recta determinada por la intersección y uno de $A$ , $B$ y $C$ de su elección. Halle el máximo número posible de intersecciones de tres rectas dentro de $ABC$ después de 300 turnos. Propuesto por usjl

3 Sea $\Omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$ . Los puntos $D$ , $E$ , $F$ son los puntos medios de los arcos inferiores $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente, sobre $\Omega$ . Sea $G$ el antípoda de $D$ en $\Omega$ . Sea $X$ la intersección de las rectas $GE$ y $AB$ , y $Y$ la intersección de las rectas $FG$ y $CA$ . Sean los circuncentros de los triángulos $BEX$ y $CFY$ los puntos $S$ y $T$ , respectivamente. Demuestre que $D$ , $S$ , $T$ son colineales. Propuesto por kyou46 y Li4.

2 Suponga que $a$ , $b$ , $c$ son números reales tales que $a+b+c > 0$ , $abc > 0$ y $ab+bc+ac > 0$ . Demuestre que $a$ , $b$ , $c$ son todos positivos.

10.9 Se da un entero positivo $k$ . Se eligen $n$ puntos sobre una recta, tales que la distancia entre dos puntos adyacentes cualesquiera es la misma. Los puntos se colorean con $k$ colores. Para cada par de puntos monocromáticos tales que no haya puntos del mismo color entre ellos, registramos la distancia entre estos dos puntos. Si todas las distancias son distintas, halle el mayor $n$ posible.

10.10 Demuestre que para todos los reales positivos $x, y, z$ , se satisface la desigualdad $(x-y)\sqrt{3x^2+y^2}+(y-z)\sqrt{3y^2+z^2}+(z-x)\sqrt{3z^2+x^2} \geq 0$ .

11.3 Igual que 10.3

11.4 Escribimos pares de enteros en una pizarra. Inicialmente, está escrito el par $(1,2)$ . En un movimiento, si $(a, b)$ está en la pizarra, podemos añadir $(-a, -b)$ o $(-b, a+b)$ . Además, si $(a, b)$ y $(c, d)$ están escritos en la pizarra, podemos añadir $(a+c, b+d)$ . ¿Podemos llegar a $(2022, 2023)$ ?

6 Para cada entero positivo $M \geq 2$ , halle el menor número real $C_M$ tal que para cualesquiera enteros $a_1, a_2,\ldots , a_{2023}$ , siempre existe algún entero $1 \leq k < M$ tal que \[\left\{\frac{ka_1}{M}\right\}+\left\{\frac{ka_2}{M}\right\}+\cdots+\left\{\frac{ka_{2023}}{M}\right\}\leq C_M.\] Aquí, $\{x\}$ es el único número en el intervalo $[0, 1)$ tal que $x - \{x\}$ es un entero. Propuesto por usjl