9.2 Sobre el lado $AC$ del triángulo $ABC$ se eligen los puntos $X_1, X_2, X_3,X_4$ . Por estos puntos se trazan rectas paralelas a los lados $CB$ y $AB$ , respectivamente. Las primeras $4$ de estas rectas intersecan el lado $AB$ en los puntos $A_1, A_2,A_3, A_4$ (formando los segmentos $X_1A_1, X_2A_2, X_3A_3, X_4A_4$ ) , y las restantes intersecan el lado $CB$ en los puntos $C_1, C_2, C_3, C_4$ (formando los segmentos $X_1C_1, X_2C_2, X_3C_3, X_4C_4$ ) . Halle el área del triángulo $ABC$ si se sabe que las áreas de los triángulos formados por las intersecciones de los lados $AB$ , $BC$ y los segmentos dados son respectivamente $S_1, S_2, S_3, S_4, S_5$ .

10.7 Suponga que se dan $2023$ puntos distintos con coordenadas enteras en el plano. Demuestre que existe un segmento de recta que conecta dos de estos puntos tal que al menos $44$ puntos con coordenadas enteras están sobre él (incluyendo los extremos). Observe que estos $44$ puntos no pertenecen necesariamente todos al conjunto dado.

10.2 Una persona caminaba a casa río arriba a lo largo de un arroyo a una velocidad que era $1.5$ veces mayor que la velocidad de la corriente. Llevaba un sombrero y un bastón. Arrojó el sombrero al arroyo, confundiéndolo con el bastón, y continuó caminando a la misma velocidad durante algún tiempo. Pronto notó el error, arrojó el bastón al arroyo y corrió de vuelta a una velocidad dos veces mayor que su velocidad de caminata hacia adelante. Al alcanzar el sombrero flotante, lo sacó del agua al instante, dio la vuelta y caminó río arriba a su velocidad original. Diez minutos más tarde, la persona se encontró con el bastón flotando en el arroyo. ¿Cuántos minutos antes habría llegado a casa si no hubiera confundido el sombrero con el bastón?

10.6 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Demuestre que si \[ P(a) = P(b) = P(c) = P(d) = p, \] donde $a, b, c, d$ son enteros distintos y $p$ es un número primo, entonces el polinomio $P(x)$ no tiene raíces enteras.

9.6 Suponga que se dan $50$ puntos distintos con coordenadas enteras en el plano. Demuestre que existe un segmento que conecta dos de estos puntos tal que al menos siete puntos con coordenadas enteras están sobre este segmento (incluyendo los extremos; estos siete puntos no pertenecen necesariamente al conjunto dado).

9.7 Sobre los lados $AB$ y $AC$ de un triángulo equilátero $ABC$ se eligen los puntos $E$ y $D$ , respectivamente, de modo que \[ AD : DC = BE : EA = 1 : 2. \] Sea $F$ el punto de intersección de los segmentos $BD$ y $CE$ . Demuestre que las rectas $AF$ y $CE$ se intersecan en un ángulo recto.

9.8 Se conocen dos hechos sobre el Consejo Supremo de Magos: $\bullet$ Cada miembro del consejo es amigo de exactamente $10$ otros miembros; $\bullet$ Para cualesquiera $10$ miembros del consejo, existe un $11$ -ésimo miembro que es amigo de todos ellos. ¿Cuál es el número máximo posible de magos en el Consejo Supremo?

10.4 Halle las funciones $f(x)$ y $g(x)$ que satisfacen el sistema de ecuaciones: \[ \begin{cases} f(2x+1) + 2x\cdot g(2x+1) = 4x, \\ f\!\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right) + g\!\left(\dfrac{2x+1}{2x-1}\right) = 2x - 1. \end{cases} \]

9.5 Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos que satisfacen \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 1. \] Demuestre que \[ \frac{x_1^2}{2x_1 + 3x_2} + \frac{x_2^2}{2x_2 + 3x_3} + \cdots + \frac{x_n^2}{2x_n + 3x_1} > \frac{1}{12}. \]

10.8 Se conocen dos hechos sobre el Consejo Supremo de Magos: $\bullet$ Cada miembro del consejo es amigo de exactamente $2022$ otros miembros; $\bullet$ Para cualesquiera $2022$ miembros del consejo, existe un $2023$ -ésimo miembro que es amigo de todos ellos. ¿Cuál es el número máximo posible de magos en el Consejo Supremo?