3 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+}$ tales que para cualesquiera tres números reales positivos $x,y,z$ : $$ x+f(y) , f(f(y)) + z , f(f(z))+f(x) $$ son las longitudes de los tres lados de un triángulo y para todo número positivo $p$ , existe un triángulo con estos lados y perímetro $p$ . Propuesto por Amirhossein Zolfaghari

1 Suponga que $n\ge3$ es un número natural. Halle el valor máximo $k$ tal que existen números reales $a_1,a_2,...,a_n \in [0,1)$ (no necesariamente distintos) tales que para todo número natural $j \le k$ , la suma de algunos $a_i$ es $j$ . Propuesto por Navid Safaei

3 Demuestra que existen infinitas ternas $(a, b, c)$ de números naturales tales que \[ 2a^2 + 3b^2 - 5c^2 = 1997. \]

C6 Tres amigos, Archie, Billie y Charlie, juegan un juego. Al comienzo del juego, cada uno de ellos tiene un montón de $2024$ guijarros. Archie hace el primer movimiento, Billie el segundo, Charlie el tercero, y continúan haciendo movimientos en el mismo orden. En cada movimiento, el jugador que mueve debe elegir un entero positivo $n$ mayor que cualquier número elegido anteriormente por cualquier jugador, tomar $2n$ guijarros de su montón y distribuirlos por igual entre los otros dos jugadores. Si un jugador no puede hacer un movimiento, el juego termina y ese jugador pierde el juego. $\hspace{5px}$ Determine todos los jugadores que tienen una estrategia tal que, sin importar cómo jueguen los otros dos jugadores, no perderán el juego. Propuesto por Ilija Jovčeski, Macedonia

2 Sea la sucesión $ \{a_n\}_{n\geq 1}$ definida por $ a_1 = 20$ , $ a_2 = 30$ y $ a_{n + 2} = 3a_{n + 1} - a_n$ para todo $ n\geq 1$ . Encuentra todos los enteros positivos $ n$ tales que $ 1 + 5a_n a_{n + 1}$ es un cuadrado perfecto.

1 Considera $n$ puntos $A_1,A_2,A_3,\ldots, A_n$ ( $n\geq 4$ ) en el plano, tales que cualesquiera tres no son colineales. Algunos pares de puntos distintos entre $A_1,A_2,A_3,\ldots, A_n$ están conectados por segmentos, de modo que cada punto está conectado con al menos tres puntos distintos. Demuestra que existe $k>1$ y puntos distintos $X_1,X_2,\ldots, X_{2k}$ en el conjunto $\{A_1,A_2,A_3,\ldots, A_n\}$ , tales que para cada $i\in \overline{1,2k-1}$ el punto $X_i$ está conectado con $X_{i+1}$ , y $X_{2k}$ está conectado con $X_1$ . Valentin

6 $ABC$ es un triángulo acutángulo con ortocentro $H$ . El punto $P$ está en el triángulo $BHC$ tal que $\angle HPC = 3 \angle HBC $ y $\angle HPB =3 \angle HCB $ . La reflexión del punto $P$ respecto a $BH,CH$ es $X,Y$ . Si $S$ es el centro de la circunferencia circunscrita de $AXY$ , demuestre que: $$\angle BAS = \angle CAP$$ Propuesto por Pouria Mahmoudkhan Shirazi

2 Sea $\Gamma$ un círculo con centro $O$ y diámetro $AB$. Sea $R$ un punto en $\Gamma$ distinto de $A$ y $B$. Sea $P$ el pie de la perpendicular desde $O$ hasta $AR$. En la línea $OP$, sea $Q$ un punto tal que $QP = \frac{OP}{2}$ y $Q$ no está en el segmento $OP$. Traza una línea por $Q$ paralela a $AB$, y deja que interseque a $AR$ en $T$. Sea $H$ la intersección de $AQ$ y $OT$. Demuestra que $H$, $B$ y $R$ son colineales.

5 $ABC$ es un triángulo cualquiera. La tangente en $C$ a la circunferencia circunscrita ( $O$ ) de $ABC$ corta a $AB$ en $M$ . La recta perpendicular a $OM$ en $M$ interseca a $BC$ en $P$ y a $AC$ en $Q$ . Demuestra que $MP=MQ$ .

4 Sean $a, b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que $\frac{a+b}{c^2}+ \frac{c+a}{b^2}+ \frac{b+c}{a^2}\ge \frac{9}{a+b+c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$