1 Cada lado del cuadrado $ABCD$ de lado $4$ se divide en partes iguales mediante tres puntos. Elige uno de los tres puntos de cada lado y conecta los puntos consecutivamente para obtener un cuadrilátero. ¿Qué números pueden ser el área de este cuadrilátero? Escribe solo los números sin demostración.

2 Halla los ángulos del triángulo $ABC$ . [asy] import graph; size(9.115122858763474cm); real labelscalefactor = 0.5; /* changes label-to-point distance */ pen dps = linewidth(0.7) + fontsize(10); defaultpen(dps); /* default pen style */ pen dotstyle = black; /* point style */ real xmin = -7.9216637359954705, xmax = 10.308581981531479, ymin = -6.062398124651168, ymax = 9.377503860601273; /* image dimensions */ /* draw figures */ draw((1.1862495478417192,2.0592342833377844)--(3.0842,-3.6348), linewidth(1.6)); draw((2.412546402365528,-0.6953452852662508)--(1.8579031454761883,-0.8802204313959623), linewidth(1.6)); draw((-3.696094000229639,5.5502174997511595)--(1.1862495478417192,2.0592342833377844), linewidth(1.6)); draw((-1.0848977580797177,4.042515022414228)--(-1.4249466943082025,3.5669367606747184), linewidth(1.6)); draw((1.1862495478417192,2.0592342833377844)--(9.086047353374928,-3.589295214974483), linewidth(1.6)); draw((9.086047353374928,-3.589295214974483)--(3.0842,-3.6348), linewidth(1.6)); draw((6.087339936804166,-3.904360930324946)--(6.082907416570757,-3.319734284649538), linewidth(1.6)); draw((3.0842,-3.6348)--(-2.9176473533749285,-3.6803047850255166), linewidth(1.6)); draw((0.08549258342923806,-3.9498657153504615)--(0.08106006319583221,-3.3652390696750536), linewidth(1.6)); draw((-2.9176473533749285,-3.6803047850255166)--(-6.62699301304923,-3.7084282888220432), linewidth(1.6)); draw((-6.62699301304923,-3.7084282888220432)--(-4.815597805533209,2.0137294983122676), linewidth(1.6)); draw((-5.999986761815922,-0.759127399441624)--(-5.442604056766517,-0.9355713910681529), linewidth(1.6)); draw((-4.815597805533209,2.0137294983122676)--(-3.696094000229639,5.5502174997511595), linewidth(1.6)); draw((-4.815597805533209,2.0137294983122676)--(1.1862495478417192,2.0592342833377844), linewidth(1.6)); draw((-1.8168903889624484,2.3287952136627297)--(-1.8124578687290425,1.744168567987322), linewidth(1.6)); draw((-4.815597805533209,2.0137294983122676)--(-2.9176473533749285,-3.6803047850255166), linewidth(1.6)); draw((-3.5893009510093994,-0.7408500702917692)--(-4.1439442078987385,-0.9257252164214806), linewidth(1.6)); label("$A$",(-4.440377746205339,7.118654172569505),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); label("$B$",(-7.868514331571194,-3.218904987952353),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); label("$C$",(9.165869786409527,-3.0594567746795223),SE*labelscalefactor,fontsize(14)); /* dots and labels */ dot((3.0842,-3.6348),linewidth(3.pt) + dotstyle); dot((9.086047353374928,-3.589295214974483),linewidth(3.pt) + dotstyle); dot((1.1862495478417192,2.0592342833377844),linewidth(3.pt) + dotstyle); dot((-2.9176473533749285,-3.6803047850255166),linewidth(3.pt) + dotstyle); dot((-4.815597805533209,2.0137294983122676),linewidth(3.pt) + dotstyle); dot((-6.62699301304923,-3.7084282888220432),linewidth(3.pt) + dotstyle); dot((-3.696094000229639,5.5502174997511595),linewidth(3.pt) + dotstyle); clip((xmin,ymin)--(xmin,ymax)--(xmax,ymax)--(xmax,ymin)--cycle); /* end of picture */ [/asy] Propuesto por Morteza Saghafian

3 En el pentágono regular $ABCDE$, la perpendicular en $C$ a $CD$ corta a $AB$ en $F$. Demuestra que $AE+AF=BE$. Propuesto por Alireza Cheraghi

4 $P_1,P_2,\ldots,P_{100}$ son $100$ puntos en el plano, sin tres de ellos colineales. Para cada tres puntos, llama a su triángulo horario si el orden creciente de ellos está en sentido horario. ¿Puede el número de triángulos horarios ser exactamente $2017$? Propuesto por Morteza Saghafian

2 Sea $n \in \mathbb N$ y $A_n$ el conjunto de todas las permutaciones $(a_1, \ldots, a_n)$ del conjunto $\{1, 2, \ldots , n\}$ para las cuales \[k|2(a_1 + \cdots+ a_k), \text{ for all } 1 \leq k \leq n.\] Halle el número de elementos del conjunto $A_n$ . Propuesto por Vidan Govedarica, Serbia

1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $A=60^{\circ}$. Sean $E,F$ los pies de las alturas trazadas desde $B,C$ respectivamente. Demuestra que $CE-BF=\tfrac{3}{2}(AC-AB)$ Propuesto por Fatemeh Sajadi

Considera un triángulo acutángulo $\triangle ABC$ ( $AC>AB$ ) con su ortocentro $H$ y su circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Los puntos $M$ , $P$ son los puntos medios de $BC$ y $AH$ respectivamente. La recta $\overline{AM}$ corta de nuevo a $\Gamma$ en $X$ y el punto $N$ está sobre la recta $\overline{BC}$ de modo que $\overline{NX}$ es tangente a $\Gamma$ . Los puntos $J$ y $K$ están sobre la circunferencia con diámetro $MP$ tales que $\angle AJP=\angle HNM$ ( $B$ y $J$ están del mismo lado de $\overline{AH}$ ) y la circunferencia $\omega_1$ , que pasa por $K,H$ y $J$ , y la circunferencia $\omega_2$ , que pasa por $K,M$ y $N$ , son tangentes externamente entre sí. Demuestra que las tangentes externas comunes de $\omega_1$ y $\omega_2$ se cortan sobre la recta $\overline{NH}$ . Propuesto por Alireza Dadgarnia

7 Igual que el Problema de Grado 10

Sea $f:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ una función diferenciable, con derivada continua. Dado que $f(0)=0$ y $0\leqslant f'(x)\leqslant 1$ para todo $x>0$ , demuestre que \[\frac{1}{n+1}\int_0^af(t)^{2n+1}\mathrm{d}t\leqslant\left(\int_0^af(t)^n\mathrm{d}t\right)^2,\] para cualquier entero positivo $n{}$ y número real $a>0.$

4 4. Hay varios (al menos dos) enteros positivos escritos a lo largo del círculo. Para cualesquiera dos enteros vecinos, uno es o bien el doble del otro o bien cinco veces el otro. ¿Puede la suma de todos estos enteros ser igual a 2023 ? Sergey Dvoryaninov