Asija compró $n$ libros en 8 librerías diferentes. Para cada dos librerías, exactamente uno de los $n$ libros se puede encontrar en ambas librerías. ¿Cuál es el valor de $n$ ?

Sea $\triangle ABC$ un triángulo isósceles ( $AC = BC$ ) . Sea el punto $E$ sobre el lado $AC$ tal que $BE = CE$ . El punto $D$ está sobre la bisectriz $CF$ del ángulo $\angle ACB$ tal que $\angle ADE = 2\angle EDC$ (el punto D está ubicado en el segmento $BE$ ) . Halle las medidas de los ángulos del triángulo $\triangle ABC$ .

Halle todos los números primos $p$ y $q$ tales que $p^2-pq+q^2-7$ es un número primo.

En la siguiente figura se dan los triángulos isósceles $ABF$ y $BEC$ y el cuadrado $ABCD$ . Demuestre que los puntos $D$ , $F$ y $E$ son colineales (están en una misma recta).

Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales positivos tales que $a+b+c+2=abc$ . Demuestre que se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a}{b+1}+\frac{b}{c+1}+\frac{c}{a+1} \geq 2$$

En una tienda, un artículo costaba $x$ euros . Después de que fue incrementado en $y\%$ , el precio pasó a ser $y$ euros (donde $x$ e $y$ son números naturales y $0<y<100$ ) . ¿Cuál era el precio del artículo antes y después del incremento?

2 Demuestre que para cualesquiera números reales positivos $a$ y $b$ se cumple la siguiente desigualdad: $$\frac{a(a+1)}{b+1}+\frac{b(b+1)}{a+1}\geq a+b.$$

3 Demuestre que las soluciones de las ecuaciones $y=x^2+ax+b$ y $x=y^2+cy+d$ pertenecen a una circunferencia.

En tres montones diferentes hay $51$ , $49$ y $5$ piedras, respectivamente. Se pueden combinar dos montones en un montón más grande o se puede separar un montón que contenga una cantidad par de piedras en dos montones iguales. ¿Es posible que después de algunos turnos podamos separar las piedras en $105$ montones con $1$ piedra en cada montón?

Sea $p$ un número primo impar. Demuestre que para todo $p$ de este tipo, sin importar cómo dividamos el conjunto $$ \mathbb{A} = \{1^{p^2-p}, 2^{p^2-p},..., (p-1)^{p^2-p}, p^2-p+1\}, $$ en dos conjuntos disjuntos, las medias aritméticas de los elementos de los dos subconjuntos no pueden ser iguales.