3 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que existe un número natural $m$ con exactamente $n$ factores primos, tal que para todo entero positivo $d$ los números de $\{1,2,3,\ldots,m\}$ de orden $d$ módulo $m$ son múltiplos de $\phi (d)$ . (15 puntos)

5 ¿Se puede encontrar un conjunto infinito de números naturales tal que para todas las ternas $(a,b,c)$ de él se tenga que $abc + 1 $ es un cuadrado perfecto? (20 puntos)

4 $2 \leq d$ es un número natural. $B_{a,b}$ = { $a,a+b,a+2b,...,a+db$ } $A_{c,q}$ = { $cq^n \vert n \in\mathbb{N}$ } Demuestre que existen finitos números primos como $p$ para los cuales existen $a,b,c,q$ números naturales tales que $i$ ) $ p \nmid abcq $ $ ii$ ) $A_{c,q} \equiv B_{a,b} (mod p ) $ (15 puntos)

6 Demuestre que existen 100 números naturales $a_1 < a_2 < ... < a_{99} < a_{100}$ ( $ a_i < 10^6$ ) tales que A , A+A , 2A , A+2A , 2A + 2A son cinco conjuntos disjuntos por pares. $A = \{a_1 , a_2 ,... , a_{99} ,a_{100}\}$ $2A = \{2a_i \vert 1\leq i\leq 100\}$ $A+A = \{a_i + a_j \vert 1\leq i<j\leq 100\}$ $A + 2A = \{a_i + 2a_j \vert 1\leq i,j\leq 100\}$ $2A + 2A = \{2a_i + 2a_j \vert 1\leq i<j\leq 100\}$ (20 puntos)

5 Un $n$ - minó es una figura conexa formada al unir $n$ cuadrados de $1 \times 1 $ . Dos poliminós son iguales si moviendo el primero podemos alcanzar el segundo. Para un poliminó $P$ , sea $|P|$ el número de cuadrados de $1 \times 1$ que contiene y sea $\partial P$ el número de cuadrados fuera de $P$ tales que cada uno de ellos tiene al menos una arista en común con un cuadrado de $P$ . (a) Demuestre que para todo $x \in (0,1)$ : \[\sum_P x^{|P|}(1-x)^{\partial P}=1\] La suma se realiza sobre todos los poliminós diferentes. (b) Demuestre que para todo poliminó $P$ , $\partial P \leq 2|P|+2$ (c) Demuestre que el número de $n$ - minós es menor que $6.75^n$ . Propuesto por Kasra Alishahi

1 Denotemos por $g_n$ el número de grafos conexos de $n$ vértices cuyos vértices están etiquetados con los números $1,2,...,n$ . Demuestre que $g_n \ge (\frac{1}{2}).2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ . Nota: si demuestra que para $c < \frac{1}{2}$ se tiene $g_n \ge c.2^{\frac{n(n-1)}{2}}$ , ¡obtendrá algunos puntos! Propuesto por Seyed Reza Hosseini y Mohammad Amin Ghiasi

1 En la circunferencia circunscrita del triángulo $\triangle ABC,$ $AA'$ es un diámetro. Trazamos las rectas $l'$ y $l$ desde $A'$ paralelas a la bisectriz interna y a la bisectriz externa del vértice $A$ . $l'$ corta a $AB , BC$ en $B_1$ y $B_2$ . $l$ corta a $AC , BC$ en $C_1$ y $C_2$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas de $\triangle ABC$ , $\triangle CC_1C_2$ y $\triangle BB_1B_2$ tienen un punto común. (20 puntos)

2007.2.2 Los círculos $K_1$ y $K_2$ de radios distintos se intersectan en dos puntos $A_1$ y $A_2$. Sea $t$ la tangente común de los círculos que está más cerca del punto $A_1$. Sean $B_1$ y $B_2$ los puntos de tangencia de $t$ con los círculos $K_1$ y $K_2$. Sean $K_3$ y $K_4$ círculos con radios $|A_1B_1|$ y $|A_1B_2|$ y con centro en $A_1$. Los círculos $K_1$ y $K_3$ se intersectan en el punto $C_1$, y los círculos $K_2$ y $K_4$ se intersectan en $C_2$. Sea $D$ la intersección de las rectas $B_1C_1$ y $B_2C_2$, y sea el punto $E$ la intersección de la recta $B_1C_1$ con el círculo $K_4$ que está del mismo lado de la recta $B_2C_2$ que el punto $C_1$. Demuestra que la recta $A_1D$ es perpendicular a la recta $EC_2$.

2 Considere un campo plano en el que existe un valle con la forma de una franja infinita de ancho arbitrario $\omega$ . Hay un poliedro de diámetro $d$ (el diámetro de un poliedro es la distancia máxima entre los puntos del poliedro) en un lado del valle y un foso de diámetro $d$ en el otro lado. Queremos hacer rodar el poliedro y colocarlo en el foso de modo que el poliedro y el campo siempre se toquen en al menos un punto mientras rueda (si el poliedro y el campo se tocan en al menos un punto, el poliedro no caerá al valle). Para cruzar el valle, hemos construido un puente rectangular con un ancho de $\frac{d}{10}$ sobre el valle. Demuestre que siempre podemos colocar el poliedro en el foso considerando las condiciones mencionadas. (Obtendrá una buena puntuación si demuestra la afirmación para $\omega = 0$ ) .

4 $D$ es un punto arbitrario sobre el lado $BC$ de $\triangle{ABC}$ . La circunferencia $\omega_1$ es tangente a los segmentos $AD$ , $BD$ y a la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ , y la circunferencia $\omega_2$ es tangente a los segmentos $AD$ , $CD$ y a la circunferencia circunscrita de $\triangle{ABC}$ . Sean $X$ e $Y$ los puntos de intersección de $\omega_1$ y $\omega_2$ con $BC$ respectivamente, y tome $M$ como el punto medio de $XY$ . Sea $T$ el punto medio del arco $BC$ que no contiene a $A$ . Si $I$ es el incentro de $\triangle{ABC}$ , demuestre que $TM$ pasa por el punto medio de $ID$ .