1.4 Sea $ABC$ un triángulo tal que $AB = AC$ y los puntos $ D$ y $E$ en la recta BC tales que $D, B, C$ , y $E$ están en este orden. Las alturas desde $D$ a $AB$ y desde $E$ a $AC$ se intersecan en $F$ . Sean $AM$ y $AN$ diámetros de las circunferencias circunscritas de $\vartriangle ACD$ y $\vartriangle ABE$ , respectivamente. Demuestre que la recta $AF$ biseca el segmento $MN$ . (Dren Neziri)

1.5 Un polinomio $f \in R[x]$ se llama entero si para cada polinomio $h(x) \in R[x]$ existe un entero positivo $k$ y polinomios $g_1(x)$ , $g_2(x)$ , $ ...$ $g_k(x) \in R[x]$ tales que $$h(x) = f(g_1(x)) + ... + f(g_k(x)).$$ Determine todos los polinomios enteros.

1.6 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con diámetro $AC$ y sea $X$ un punto en la prolongación del rayo $CA$ más allá del punto $A$ . Sean $Y$ y $Z$ las segundas intersecciones de las rectas $BA$ y $DA$ con las circunferencias circunscritas de $\vartriangle XAD$ y $\vartriangle XAB$ , respectivamente. Demuestre que $\angle CY A = \angle AZC$ . (Dren Neziri)

1.8 Un subconjunto de los enteros positivos se llama Han si contiene dos subconjuntos disjuntos y no vacíos con igual suma. Sea $n \ge 3$ un entero positivo. Demuestre que si $A$ es un conjunto de $2^n$ enteros positivos, que no exceden $2^{2^n-n-1}$ , entonces $ A$ es Han.

2.1 Sea $N = 99 . . . 9909$ el entero de $20$ dígitos formado escribiendo el dígito 9 dieciocho veces, luego el dígito cero y finalmente el dígito $9$ una vez. Determine el menor entero positivo $k$ tal que $N$ puede escribirse como una suma de $k $ palíndromos, cada uno de los cuales tiene al menos dos dígitos. Observación: Un entero positivo $n = \overline{a_1a_2 . . . a_k}$ es un palíndromo si $a_i = a_{k+1-i}$ para todo $i \le k$ .

2.2 Sea $ABC$ un triángulo con $AB \ne AC$ y $D$ un punto en $BC$ tal que $AD$ biseca $\angle BAC$ . Sea $E$ un punto en el lado $BC$ tal que $BD = CE$ . Sea $F$ un punto en el arco $BC$ (que no contiene al punto $A$ ) tal que $\angle BAF = \angle CAE$ . La recta paralela a $DF$ que pasa por $E$ interseca a la recta $AF$ en el punto $X$ . Demuestre que $AC \cdot BX = AB \cdot CX$ . (Dren Neziri)

2.3 Hay $n \ge 3$ camaleones sentados en un círculo, algunos verdes, algunos naranjas y algunos morados. Cada segundo, Koza elige un par de camaleones vecinos de colores diferentes y los cambia al tercer color. ¿Para qué $n$ puede Koza eventualmente convertir a todos los camaleones al mismo color independientemente de sus colores originales?

2.4 Sea $p$ un número primo mayor que $5$ . Sea $$1 = a_1 < a_2 <...< a_{\frac{p-1}{2}}$$ la lista de todos los residuos cuadráticos no nulos y distintos módulo $p$ en orden creciente. Considere la sucesión de productos parciales $$a_1, a_1a_2, a_1a_2a_3,... , a_1a_2 ...a_{\frac{p-1}{2}}.$$ Demuestre que para todo primo $p > 5$ , al menos dos de estos productos son iguales módulo $p$ .

2.5 Números reales positivos $x_1, x_2, x_3, . . . , x_{2025}$ están escritos en una pizarra. Un movimiento consiste en seleccionar dos números $ a$ y $b$ en la pizarra, borrarlos y escribir el número $$\frac{a^2 + 6ab + b^2}{a + b}$$ en la pizarra. Después de $2024$ movimientos, solo quedará un número $c$ en la pizarra. Demuestre que $$c < 2025(x_1 + x_2 + . . . + x_{2025}).$$

2.6 Sea $\vartriangle ABC$ un triángulo acutángulo y $D,E, F$ puntos en los lados $BC$ , $CA$ , $AB$ , respectivamente, y distintos de los vértices del triángulo. Las circunferencias circunscritas de $\vartriangle BDF$ y $\vartriangle CDE$ se intersecan nuevamente en el punto $G$ . Demuestre que, a medida que $D$ se mueve a lo largo del segmento $BC$ , la recta $DG$ pasa por un punto fijo. (Dren Neziri)