6 En el triángulo $ABC$ , $D$ es un punto variable sobre la recta $BC$ . Los puntos $E,F$ se encuentran en los segmentos $AC, AB$ respectivamente, tales que $BF=BD$ y $CD=CE$ . Las circunferencias $(AEF)$ y $(ABC)$ se cortan nuevamente en $S$ . Las rectas $EF$ y $BC$ se cortan en $P$ y las circunferencias $(PDS)$ y $(AEF)$ se cortan nuevamente en $Q$ . Demuestre que, cuando $D$ varía, el conjugado isogonal de $Q$ con respecto al triángulo $ ABC$ se encuentra sobre una circunferencia fija. Propuesto por Serdar Bozdag

1 Sea $\Gamma$ una circunferencia y sea $d$ una recta tales que $\Gamma$ y $d$ no tienen puntos comunes. Además, sea $AB$ un diámetro de la circunferencia $\Gamma$ ; suponga que este diámetro $AB$ es perpendicular a la recta $d$ , y que el punto $B$ está más cerca de la recta $d$ que el punto $A$ . Sea $C$ un punto arbitrario de la circunferencia $\Gamma$ , distinto de los puntos $A$ y $B$ . Sea $D$ el punto de intersección de las rectas $AC$ y $d$ . Una de las dos tangentes trazadas desde el punto $D$ a la circunferencia $\Gamma$ toca a esta circunferencia $\Gamma$ en un punto $E$ ; suponemos aquí que los puntos $B$ y $E$ se encuentran en el mismo semiplano con respecto a la recta $AC$ . Denote por $F$ el punto de intersección de las rectas $BE$ y $d$ . Sea la recta $AF$ que interseca a la circunferencia $\Gamma$ en un punto $G$ , distinto de $A$ . Demuestre que el reflejo del punto $G$ respecto de la recta $AB$ se encuentra sobre la recta $CF$ . darij

2 Halle todas las funciones $f,g,h: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ tales que $f(x) - g(y) = (x-y) \cdot h(x+y)$ para $x,y \in \mathbb{R}.$

6 Considere un tablero de $a \times b$ , con $a$ y $b$ enteros mayores o iguales que $2$ . Inicialmente sus casillas están coloreadas de blanco y negro como un tablero de ajedrez. La operación permitida consiste en elegir dos casillas con un lado común y recolorearlas de la siguiente manera: una casilla blanca se vuelve negra; una casilla negra se vuelve verde; una casilla verde se vuelve blanca. Determine para qué valores de $a$ y $b$ es posible, mediante una sucesión de operaciones permitidas, lograr que todas las casillas que inicialmente eran blancas terminen negras y todas las casillas que inicialmente eran negras terminen blancas. Aclaración: Inicialmente no hay casillas verdes, pero aparecen después de la primera operación.

5 Halle todas las potencias perfectas cuyas últimas $ 4$ cifras son $ 2,0,0,8$ , en ese orden.

6 Dados enteros positivos $d \ge 3$ , $r>2$ y $l$ , con $2d \le l <rd$ . A cada vértice del grafo $G(V,E)$ se le asigna un entero positivo en $\{1,2,\cdots,l\}$ , tal que para cualesquiera dos vértices consecutivos del grafo, los enteros que se les asignan, respectivamente, tienen diferencia no menor que $d$ , y no mayor que $l-d$ . Un coloreo propio del grafo es un coloreo de los vértices, tal que cualesquiera dos vértices consecutivos no tengan el mismo color. Se sabe que existe un subconjunto propio $A$ de $V$ , tal que para cualquier coloreo propio de $G$ con $r-1$ colores, y para un color arbitrario $C$ , o bien todos los números del color $C$ aparecen en $A$ , o bien ninguno de los números del color $C$ aparece en $A$ . Demuestre que $G$ tiene un coloreo propio con $r-1$ colores.

4 Halle todos los números reales $ x$ que satisfacen la siguiente ecuación: $ [2x]+[3x]+[7x]=2008$ . Nota: $ [x]$ denota el mayor entero menor o igual que $ x$ .

2 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos tales que $2ab$ divide a $a^2+b^2-a$ . Demuestre que $a$ es un cuadrado perfecto

3 En un club de tenis, cada miembro tiene exactamente $k > 0$ amigos, y se organiza un torneo en rondas tal que cada par de amigos se enfrenta en un partido exactamente una vez. Las rondas se juegan con partidos simultáneos, eligiendo parejas hasta que ya no se pueda elegir más (es decir, entre las personas no elegidas, no hay un par de amigos cuyo partido esté pendiente). Determina el número máximo de rondas que puede tener el torneo, dependiendo de $k$.

5 Para todo entero $d \geq 1$ , sea $M_d$ el conjunto de todos los enteros positivos que no pueden escribirse como una suma de una progresión aritmética con diferencia $d$ , que tenga al menos dos términos y consista en enteros positivos. Sea $A = M_1$ , $B = M_2 \setminus \{2 \}, C = M_3$ . Demuestre que todo $c \in C$ puede escribirse de manera única como $c = ab$ con $a \in A, b \in B.$ Amir