6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno, $H$ su ortocentro y $G$ su geocentro. La circunferencia con diámetro $AH$ corta a la circunferencia de $BHC$ en $A'$ ( $A' \neq H$ ). Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera similar. Demuestra que los puntos $A'$, $B'$, $C'$ y $G$ están en una misma circunferencia.

1 Encuentra un número entero positivo $n$ tal que, si pones un número $2$ a la izquierda y un número $1$ a la derecha, el nuevo número sea igual a $33n$. José

2 Sea $P$ un punto fuera del círculo $C$. Encuentra dos puntos $Q$ y $R$ sobre el círculo, tales que $P,Q$ y $R$ sean colineales y $Q$ sea el punto medio del segmento $PR$. (Discute el número de soluciones). José

3 Considera el conjunto $S$ de $100$ números: $1; \frac{1}{2}; \frac{1}{3}; ... ; \frac{1}{100}$ . Se eliminan dos números cualesquiera, $a$ y $b$ , de $S$ , y se añade el número $a+b+ab$ . Ahora hay $99$ números en $S$ . Después de hacer esta operación $99$ veces, solo queda $1$ número en $S$ . ¿Qué valores puede tomar este número? José

2 En un $\triangle {ABC}$, considera un punto $E$ en $BC$ tal que $AE \perp BC$. Demuestra que $AE=\frac{bc}{2r}$, donde $r$ es el radio de la circunferencia circunscrita, $b=AC$ y $c=AB$. José

4 Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternadamente en un polígono convexo de $n \geq 5$ lados. En cada turno, el jugador correspondiente debe trazar una diagonal que no corte por dentro las diagonales previamente trazadas. Un jugador pierde si después de su turno se forma un cuadrilátero tal que sus dos diagonales no están trazadas. $A$ comienza el juego. Para cada entero positivo $n$, encuentra una estrategia ganadora para uno de los jugadores.

Una división de un grupo de personas en varios grupos se llama $k$-regular si el número de grupos es menor o igual a $k$ y dos personas que se conocen están en grupos distintos. Sean $A$, $B$ y $C$ grupos de personas tales que no hay ninguna persona en $A$ y ninguna persona en $B$ que se conozcan entre sí. Supón que el grupo $A \cup C$ tiene una división $a$-regular y el grupo $B \cup C$ tiene una división $b$-regular. Para cada $a$ y $b$, determina el menor valor posible de $k$ para el cual se garantiza que el grupo $A \cup B \cup C$ tiene una división $k$-regular.

1 Sean $a,b,c,d$ números reales positivos tales que $a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$ . Demuestra que $(1-a)(1-b)(1-c)(1-d) \geq abcd$ .

Considera un tablero de $m*n$. En cada casilla hay asignado un número entero no negativo. Una operación consiste en elegir dos casillas cualesquiera que compartan un lado, y sumar a estos $2$ números el mismo número entero (que puede ser negativo), de modo que ambos resultados sean no negativos. ¿Qué condiciones deben cumplirse inicialmente en la asignación de las casillas, para que, después de algunas operaciones, se tenga el número $0$ en cada casilla?. José

4 ¿Existe una función $f:[0,1]\rightarrow (0,\infty)$ tal que $f$ sea diferenciable en $[0,1]$, su derivada $f'$ sea continua en $[0,1]$, se cumpla $(f'(x))^3-x^{\frac{1}{3}}>6(1-f(x)^{\frac{1}{5}})$ para todo $x\in [0,1]$, y $f(1)=1$? Propuesto por Medhansh Tripathi