55 Sean $a, b, c$ números naturales tales que $a+b+c = 2pq(p^{30}+q^{30}), p > q$ siendo dos enteros positivos dados. $(a)$ Demuestre que $k = a^3 + b^3 + c^3$ no es un número primo. $(b)$ Demuestre que si $a\cdot b\cdot c$ es máximo, entonces $1984$ divide a $k$ .

56 Sean $a, b, c$ enteros no negativos tales que $a \le b \le c, 2b \neq a + c$ y $\frac{a+b+c}{3}$ es un entero. ¿Es posible hallar tres enteros no negativos $d, e$ y $f$ tales que $d \le e \le f, f \neq c$ , y tales que $a^2+b^2+c^2 = d^2 + e^2 + f^2$ ?

58 Sea $(a_n)_1^{\infty}$ una sucesión tal que $a_n \le a_{n+m} \le a_n + a_m$ para todos los enteros positivos $n$ y $m$ . Demuestre que $\frac{a_n}{n}$ tiene un límite cuando $n$ tiende a infinito.

60 Determine todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos con $a \neq 1$ tales que \[\log_a b < \log_{a+1} (b + 1).\] Amir

59 Determine el menor entero positivo $m$ tal que $529^n+m\cdot 132^n$ sea divisible por $262417$ para todos los enteros positivos impares $n$ .

57 Sean $a, b, c, d$ una permutación de los números $1, 9, 8,4$ y sea $n = (10a + b)^{10c+d}$ . Halle la probabilidad de que $1984!$ sea divisible por $n.$

65 Un tetraedro está inscrito en una esfera de radio $1$ de modo que el centro de la esfera está dentro del tetraedro. Demuestre que la suma de las longitudes de todas las aristas del tetraedro es mayor que 6.

3 Sea $a_0, a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}$ una sucesión de números reales que satisface las siguientes condiciones: \[a_0 = a_{n+1 }= 0,\] \[ |a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1}| \leq 1 \quad (k = 1, 2,\ldots , n).\] Demuestre que $|a_k| \leq \frac{k(n+1-k)}{2} \quad (k = 0, 1,\ldots ,n + 1).$ Amir

5 Sea $ABCDS$ una pirámide con cuatro caras y con $ABCD$ como base, y sea un plano $\alpha$ que pasa por el vértice $A$ y corta a sus aristas $SB$ y $SD$ en los puntos $M$ y $N$ , respectivamente. Demuestre que si la intersección del plano $\alpha$ con la pirámide $ABCDS$ es un paralelogramo, entonces $SM \cdot SN > BM \cdot DN$ .

3 Un punto $ P$ en el interior del triángulo $ ABC$ satisface \[ \angle BPC - \angle BAC = \angle CPA - \angle CBA = \angle APB - \angle ACB.\] Demuestre que \[ \bar{PA} \cdot \bar{BC} = \bar{PB} \cdot \bar{AC} = \bar{PC} \cdot \bar{AB}.\]