2 Sea $N$ el número de pares ordenados $(x,y)$ tales que $1 \leq x,y \leq p(p-1)$ y : $$x^{y} \equiv y^{x} \equiv 1 \pmod{p}$$ donde $p$ es un número primo fijo. Muestre que : $$(\phi {(p-1)}d(p-1))^2 \leq N \leq ((p-1)d(p-1))^2$$ donde $d(n)$ es el número de divisores de $n$

A5 Halle todos los enteros positivos $n \geqslant 2$ para los cuales existen $n$ números reales $a_1<\cdots<a_n$ y un número real $r>0$ tales que las $\tfrac{1}{2}n(n-1)$ diferencias $a_j-a_i$ con $1 \leqslant i<j \leqslant n$ son iguales, en algún orden, a los números $r^1,r^2,\ldots,r^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ .

C5 Sea $n$ un entero positivo. Halle el mayor entero $M$ tal que para cualesquiera enteros positivos distintos $a_1,\ldots,a_n$ con suma $M$ existen enteros $b_1,\ldots,b_n \in \{-2,-1,0,1,2\}$ , no todos iguales a $0$ , tales que $\sum_{i=1}^n a_ib_i = 0$ . Observación Desafortunadamente, este problema resultó no ser original; de lo contrario, muy probablemente habría sido P4. Véase Poland Final Round 2009 . Aunque no éramos conscientes de este problema, también tenemos el muy similar Romania JBMO TST 2022 / Romania IMO TST 1996 .

1 En un trapecio equilátero, el punto $O$ es el punto medio de la base $AD$ . Una circunferencia con centro en el punto $O$ y radio $BO$ es tangente a la recta $AB$ . Sea el segmento $AC$ que interseca a esta circunferencia en el punto $K(K \ne C)$ , y sea $M$ un punto tal que $ABCM$ es un paralelogramo. La circunferencia circunscrita del triángulo $CMD$ interseca al segmento $AC$ en un punto $L(L\ne C)$ . Demuestre que $AK=CL$ .

22 Demuestra que el conjunto $ \{1,2, \ldots, 1989\}$ se puede expresar como la unión disjunta de subconjuntos $ A_i, \{i = 1,2, \ldots, 117\}$ tales que i.) cada $ A_i$ contiene 17 elementos ii.) la suma de todos los elementos en cada $ A_i$ es la misma.

11 (a) Halle la reordenación $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Halle la reordenación que minimiza $Q.$ Amir

3 Un cubo de $4\times4\times4$ está compuesto por $64$ cubos unitarios. Las caras de $16$ cubos unitarios deben colorearse de rojo. Un coloreado se llama interesante si hay exactamente $1$ cubo unitario rojo en cada caja rectangular de $1\times1\times 4$ compuesta por $4$ cubos unitarios. Determine el número de coloreados interesantes.

16 Sea $K$ el conjunto $\{a, b, c, d, e\}$ . $F$ es una colección de $16$ subconjuntos distintos de $K$ , y se sabe que cualesquiera tres miembros de $F$ tienen al menos un elemento en común. Muestre que los $16$ miembros de $F$ tienen exactamente un elemento en común. Amir

Sea $n$ un entero positivo. Fernando y Julián juegan de la siguiente manera: Fernando escribe en el pizarrón una lista de $n$ enteros positivos. Luego, Julián borra algunos de ellos (puede no borrar ninguno, pero no puede borrarlos todos) y asigna un signo (ya sea $+$ o $-$ ) a cada número restante. Si la suma de los números resultantes en el pizarrón es un múltiplo de $2012$ , gana Julián; en caso contrario, gana Fernando. Determine, para cada valor de $n$ , quién tiene una estrategia ganadora. Aclaración: el múltiplo de $2012$ no es necesariamente positivo.

N6 Sea $c$ un entero positivo. Demuestra que hay infinitos primos, cada uno de los cuales divide al menos un término de la sucesión $a_1 = c$ , $a_{n+1} = a_n^3 + c$ .