3 Para dos reales arbitrarios $x, y$ mayores que $0$ y menores que $1.$ Demuestre que $$\frac{x^2}{x+y}+\frac{y^2}{1-x}+\frac{(1-x-y)^2}{1-y}\geq\frac{1}{2}.$$

4 Considere un número real positivo $a$ y un entero positivo $m$ . La sucesión $(x_k)_{k\in \mathbb{Z}^{+}}$ se define como: $x_1=1$ , $x_2=a$ , $x_{n+2}=\sqrt[m+1]{x_{n+1}^mx_n}$ . $a)$ Demuestre que la sucesión es convergente. $b)$ Halle $\lim_{n\rightarrow \infty}{x_n}$ .

1 Sea $m$ el número de soluciones ordenadas $(a,b,c,d,e)$ que satisfacen: $1)$ $a,b,c,d,e\in \mathbb{Z}^{+}$ ; $2)$ $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{e}=1$ ; Demuestre que $m$ es impar.

1 Demuestre que no existen $4$ puntos en el plano tales que las distancias entre cualquier par de ellos sean un entero impar.

2 Sea $a_n=1+n!(\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!})$ para cualquier $n\in \mathbb{Z}^{+}$ . Considere $a_n$ puntos en el plano, sin que haya $3$ de ellos colineales. Los segmentos entre cualesquiera $2$ de ellos están coloreados con uno de $n$ colores. Demuestre que entre ellos existen $3$ puntos que forman un triángulo monocromático.

3 Las diagonales de un trapecio $ABCD$ con $AD \parallel BC$ se intersecan en el punto $P$ . El punto $Q$ está entre las rectas paralelas $AD$ y $BC$ de modo que la recta $CD$ separa los puntos $P$ y $Q$ , y $\angle AQD=\angle CQB$ . Demuestre que $\angle BQP = \angle DAQ$ .

2 Halle todos los pares de números reales $x$ e $y$ que satisfacen simultáneamente las siguientes 2 relaciones: $x+y+4=\frac{12x+11y}{x^2+y^2}$ $y-x+3=\frac{11x-12y}{x^2+y^2}$

2 Sean $x_1, x_2, \ldots, x_n$ números reales positivos tales que $x_1\cdot x_2\cdots x_n=1$ . Demuestre la desigualdad $\frac1{x_1(x_1+1)}+\frac1{x_2(x_2+1)}+\cdots+\frac1{x_n(x_n+1)}\geq\frac n2$

2 Considere un tablero de $2013 \times 2013$ casillas; ¿cuál es el número máximo de caballos de ajedrez que se pueden colocar de modo que no haya $2$ que se ataquen entre sí?

4 Sea $n$ un entero que satisface $n\geq2$ . Halle el mayor entero que no excede la expresión: $E=1+\sqrt{1+\frac{2^2}{3!}}+\sqrt[3]{1+\frac{3^2}{4!}}+\dots+\+\sqrt[n]{1+\frac{n^2}{(n+1)!}}$