3a Determine la menor constante $N$ para la cual lo siguiente puede ser cierto: Geostan ha desplegado agentes secretos en Combostan. Todos los pares de agentes pueden comunicarse, ya sea directamente o a través de otros agentes. La distancia entre dos agentes es el menor número de agentes en una cadena de comunicación entre los dos agentes. Andreas y Edvard están entre estos agentes, y Combostan le ha dado a Noah la tarea de determinar la distancia entre Andreas y Edvard. Noah tiene una lista de números, uno para cada agente. El número de un agente describe la mayor de las dos distancias desde el agente hasta Andreas y Edvard. Sin embargo, Noah no sabe qué número corresponde a cada agente, ni qué agentes tienen contacto directo. Dada esta información, él puede escribir $N$ números y demostrar que la distancia entre Andreas y Edvard es uno de estos $N$ números. El número $N$ es independiente de la red de comunicación de los agentes.

2b Halle todas las funciones $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisfacen \[xf(f(x)+y)=f(xy)+x^2\] para todo $x,y \in \mathbb{R}$ .

2a Se deben elegir enteros positivos $a_0<a_1<\dots<a_n$ , de modo que $a_j-a_i$ no sea primo para cualesquiera $i,j$ con $0 \le i <j \le n$ . Para cada $n \ge 1$ , determine el menor valor posible de $a_n$ .

1b Halle todas las funciones $f:\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ tales que los números \[n, f(n),f(f(n)),\dots,f^{m-1}(n)\] son distintos módulo $m$ para todos los enteros $n,m$ con $m>1$ . (Aquí $f^k$ se define mediante $f^0(n)=n$ y $f^{k+1}(n)=f(f^{k}(n))$ para $k \ge 0$ . )

1a Determine todos los enteros $n \ge 2$ tales que $n \mid s_n-t_n$ , donde $s_n$ es la suma de todos los enteros del intervalo $[1,n]$ que son primos relativos con $n$ , y $t_n$ es la suma de los enteros restantes del mismo intervalo.

9.2 Los puntos $A, B, C, D$ del plano no forman un rectángulo. Suponga que las longitudes de los lados del triángulo $T$ son $AB+CD$ , $AC+BD$ , $AD+BC$ . Demuestre que el triángulo $T$ es acutángulo.

1 Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que el residuo de $3^n$ al dividirlo entre $2^n$ es mayor que $10^{2021}$.

G4 Sea $ABC$ un triángulo y $\Gamma$ la circunferencia con diámetro $[AB]$ . Las bisectrices de $\angle BAC$ y $\angle ABC$ cortan a la circunferencia $\Gamma$ nuevamente en $D$ y $E$ , respectivamente. La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ corta a las rectas $BC$ y $AC$ en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestre que los puntos $D, E, F$ y $G$ se encuentran sobre la misma recta.

4a El triángulo $ABC$ con $AB < AC$ tiene una altura $AD$ . Los puntos $E$ y $A$ están en lados opuestos de $BC$ , con $E$ sobre la circunferencia circunscrita de $ABC$ . Además, $AD = DE$ y $\angle ADO=\angle CDE$ , donde $O$ es el circuncentro de $ABC$ . Determine $\angle BAC$ .

6 Para cada primo $p$ de la forma $4k+3$ con $k \in \mathbb{Z}^+$ , considere el polinomio $$Q(x)=px^{2p} - x^{2p-1} + p^2x^{\frac{3p+1}{2}} - px^{p+1} +2(p^2+1)x^p -px^{p-1}+ p^2 x^{\frac{p-1}{2}} -x + p.$$ Determine todos los pares ordenados de polinomios $f, g$ con coeficientes enteros tales que $Q(x)=f(x)g(x)$ .