3 Sea $ABC$ un triángulo en el cual ( ${BL}$ es la bisectriz del ángulo ${\angle{ABC}}$ $\left( L\in AC \right)$ , ${AH}$ es una altura de $\vartriangle ABC$ $\left( H\in BC \right)$ y ${M}$ es el punto medio del lado ${AB}$ . Se sabe que los puntos medios de los segmentos ${BL}$ y ${MH}$ coinciden. Determine los ángulos interiores del triángulo $\vartriangle ABC$ .

2 Sean $AD,BF$ y ${CE}$ las alturas de $\vartriangle ABC$ . Una recta que pasa por ${D}$ y es paralela a ${AB}$ interseca a la recta ${EF}$ en el punto ${G}$ . Si ${H}$ es el ortocentro de $\vartriangle ABC$ , halle el ángulo ${\angle{CGH}}$ .

4 El punto ${D}$ se encuentra sobre el lado ${BC}$ de $\vartriangle ABC$ . Los circuncentros de $\vartriangle ADC$ y $\vartriangle BAD$ son ${O_1}$ y ${O_2}$ , respectivamente, y ${O_1O_2\parallel AB}$ . El ortocentro de $\vartriangle ADC$ es ${H}$ y ${AH=O_1O_2}.$ Halle los ángulos de $\vartriangle ABC$ si $2m\left( \angle C \right)=3m\left( \angle B \right).$

9 Decida si es posible considerar $2011$ puntos en un plano tales que la distancia entre cada dos de estos puntos sea distinta de $1$ y cada circunferencia unitaria centrada en uno de estos puntos deje exactamente $1005$ puntos fuera de la circunferencia.

8 Determine los polígonos de $n$ lados $(n \ge 4)$ , no necesariamente convexos, que satisfacen la propiedad de que la reflexión de cada vértice del polígono con respecto a cada diagonal del polígono no cae fuera del polígono. Nota: Todo segmento que une dos vértices no vecinos del polígono es una diagonal. La reflexión se considera con respecto a la recta soporte de la diagonal.

4 Sean $x, y, z > -1$ . Demuestre que \[ \frac{1+x^2}{1+y+z^2} + \frac{1+y^2}{1+z+x^2} + \frac{1+z^2}{1+x+y^2} \geq 2. \] Laurentiu Panaitopol Iris

3 Sean $D$ , $E$ , $F$ los puntos medios de los arcos $BC$ , $CA$ , $AB$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ que no contienen a los puntos $A$ , $B$ , $C$ , respectivamente. La recta $DE$ interseca a $BC$ y $CA$ en $G$ y $H$ , y sea $M$ el punto medio del segmento $GH$ . La recta $FD$ interseca a $BC$ y $AB$ en $K$ y $J$ , y sea $N$ el punto medio del segmento $KJ$ . a) Halle los ángulos del triángulo $DMN$ ; b) Demuestre que si $P$ es el punto de intersección de las rectas $AD$ y $EF$ , entonces el circuncentro del triángulo $DMN$ se encuentra sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $PMN$ . Iris

N1 Halle todos los enteros positivos $a, b, c$ tales que $ab + 1$ , $bc + 1$ y $ca + 1$ son todos iguales a factoriales de algunos enteros positivos. Propuesto por Nikola Velov, Macedonia

A1 Sea $n$ ( $n \ge 1$ ) un entero. Considere la ecuación $2\cdot \lfloor{\frac{1}{2x}}\rfloor - n + 1 = (n + 1)(1 - nx)$ , donde $x$ es la variable real desconocida. (a) Resuelva la ecuación para $n = 8$ . (b) Demuestre que existe un entero $n$ para el cual la ecuación tiene al menos $2021$ soluciones. (Para cualquier número real $y$ , con $\lfloor{y} \rfloor$ denotamos el mayor entero $m$ tal que $m \le y$ . )

6 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo ( $AB < BC < AC$ ) con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Supón que existe $X \in AC$ que satisface $AB=BX$ y $AX=BC$ . Se toman puntos $D, E \in \Gamma$ tales que $\angle ADB<90^{\circ}$ , $DA=DB$ y $BC=CE$ . Sea $P$ el punto de intersección de $AE$ con la recta tangente a $\Gamma$ en $B$ , y sea $Q$ el punto de intersección de $AB$ con la recta tangente a $\Gamma$ en $C$ . Muestra que la proyección de $D$ sobre $PQ$ está en la circunferencia circunscrita de $\triangle PAB$ .