1 El triángulo $ABC$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ . La circunferencia $\gamma$ es tangente a $AB$ y $AC$ en los puntos $P$ y $Q$ respectivamente. Además la circunferencia $\gamma$ es tangente a la circunferencia $\omega$ en el punto $S$ . Sea la intersección de $AS$ y $PQ$ el punto $T$ . Demuestre que $\angle{BTP}=\angle{CTQ}$ .

1 Demuestre que para cualesquiera $n$ ( $n \geq 2$ ) fracciones distintas dos a dos en el intervalo $(0,1)$ , la suma de sus denominadores no es menor que $\frac{1}{3} n^{\frac{3}{2}}$ .

2 Determine si $\sqrt{1001^2+1}+\sqrt{1002^2+1}+ \cdots + \sqrt{2000^2+1}$ es un número racional o no.

2 Considérense $120$ cuadrados unitarios situados arbitrariamente en un rectángulo de $20\times 25$ . Demuestre que se puede colocar un círculo de diámetro unitario en el rectángulo sin intersecar a ninguno de los cuadrados.

2 Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$ . Las dos tangentes a $\omega$ desde $B$ y $C$ se intersecan en $P$ , $AP$ y $BC$ se intersecan en $D$ . Los puntos $E$ , $F$ están sobre $AC$ y $AB$ tales que $DE \parallel BA$ y $DF \parallel CA$ . (1) Demuestre que $F,B,C,E$ son concíclicos. (2) Denote $A_{1}$ el centro de la circunferencia que pasa por $F,B,C,E$ . $B_{1}$ , $C_{1}$ se definen de manera análoga. Demuestre que $AA_{1}$ , $BB_{1}$ , $CC_{1}$ son concurrentes.

1 Halle todos los enteros positivos $m$ y $n$ tales que la desigualdad: \[ [ (m+n) \alpha ] + [ (m+n) \beta ] \geq [ m \alpha ] + [n \beta] + [ n(\alpha+\beta)] \] sea verdadera para cualesquiera números reales $\alpha$ y $\beta$ . Aquí $[x]$ denota el mayor entero no mayor que el número real $x$ .

2007 g6 Sea $ABC$ un triángulo escaleno, siendo $BC$ su lado más pequeño. Sean $ P$ y $Q$ puntos sobre $AB$ y $AC$ respectivamente tales que $BQ = CP =BC$ . Las circunferencias circunscritas de $AQB$ y $APC$ se intersecan nuevamente en un punto $X$ . $BX$ interseca $AC$ en $R$ y $CX$ interseca $AB$ en $S$ . Muestre que $A$ , $R$ , $X$ , y $S$ son concíclicos.

3 Halle el menor entero positivo $n$ ( $n\geq 3$ ) tal que entre cualesquiera $n$ puntos (sin tres colineales) en el plano, existan tres puntos que sean los vértices de un triángulo no isósceles.

2 Sea u un entero positivo fijo. Demuestre que la ecuación $n! = u^{\alpha} - u^{\beta}$ tiene un número finito de soluciones $(n, \alpha, \beta).$

3 Sean $k \geq 2, 1 < n_1 < n_2 < \ldots < n_k$ enteros positivos, $a,b \in \mathbb{Z}^+$ que satisfacen \[ \prod^k_{i=1} \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) \leq \frac{a}{b} < \prod^{k-1}_{i=1} \left( 1 - \frac{1}{n_i} \right) \] Demuestre que: \[ \prod^k_{i=1} n_i \geq (4 \cdot a)^{2^k - 1}. \]