53 Halle todos los enteros $\,a,b,c\,$ con $\,1<a<b<c\,$ tales que \[ (a-1)(b-1)(c-1) \] sea un divisor de $abc-1.$

51 Sean $ f, g$ y $ a$ polinomios con coeficientes reales, $ f$ y $ g$ en una variable y $ a$ en dos variables. Suponga que \[ f(x) - f(y) = a(x, y)(g(x) - g(y)) \forall x,y \in \mathbb{R}\] Demuestre que existe un polinomio $ h$ tal que $ f(x) = h(g(x)) \text{ } \forall x \in \mathbb{R}.$

57 Para números positivos $a, b, c$ defina $A = \frac{(a + b + c)}{3}$ , $G = \sqrt[3]{abc}$ , $H = \frac{3}{(a^{-1} + b^{-1} + c^{-1})}.$ Demuestre que \[ \left( \frac AG \right)^3 \geq \frac 14 + \frac 34 \cdot \frac AH.\] Amir

59 Sea un $7$ -gono regular $A_0A_1A_2A_3A_4A_5A_6$ inscrito en un círculo. Demuestre que para cualesquiera dos puntos $P, Q$ sobre el arco $A_0A_6$ se cumple la siguiente igualdad: \[\sum_{i=0}^6 (-1)^{i} PA_i = \sum_{i=0}^6 (-1)^{i} QA_i .\] Amir

60 ¿Existe un conjunto $ M$ con las siguientes propiedades? (i) El conjunto $ M$ consta de 1992 números naturales. (ii) Todo elemento de $ M$ y la suma de cualquier cantidad de elementos tienen la forma $ m^k$ $ (m, k \in \mathbb{N}, k \geq 2).$

61 Hay un tablero con $2n \cdot 2n \ (= 4n^2)$ casillas y $4n^2-1$ tarjetas numeradas con números naturales distintos. Estas tarjetas se colocan una a una sobre cada una de las casillas. Una casilla queda vacía. Podemos mover una tarjeta a una casilla vacía desde una de las casillas adyacentes (dos casillas son adyacentes si tienen un lado común). ¿Es posible intercambiar dos tarjetas situadas en dos casillas adyacentes de una columna (o de una fila) en un número finito de movimientos? Amir

62 Sean $c_1, \cdots, c_n \ (n \geq 2)$ números reales tales que $0 \leq \sum c_i \leq n$ . Demuestre que existen enteros $k_1, \cdots , k_n$ tales que $\sum k_i=0$ y $1-n \leq c_i + nk_i \leq n$ para todo $i = 1, \cdots , n.$ Amir

63 Sean $a$ y $b$ enteros. Demuestre que $\frac{2a^2-1}{b^2+2}$ no es un entero. Amir

64 Para cualquier entero positivo $n$ considere todas las representaciones $n = a_1 + \cdots+ a_k$ , donde $a_1 > a_2 > \cdots > a_k > 0$ son enteros tales que, para todo $i \in \{1, 2, \cdots , k - 1\}$ , el número $a_i$ es divisible por $a_{i+1}$ . Halle la representación más larga de este tipo del número $1992.$ Amir

65 Si $A, B, C$ y $D$ son cuatro puntos distintos en el espacio, demuestre que existe un plano $P$ sobre el cual las proyecciones ortogonales de $A, B, C$ y $D$ forman un paralelogramo (posiblemente degenerado). Amir