Determina la mayor constante posible \( C \) tal que para cualesquiera números reales positivos \( x, y, z \), que sean los lados de un triángulo, se cumpla la siguiente desigualdad: \[ \frac{xy}{x^2 + y^2 + xz} + \frac{yz}{y^2 + z^2 + yx} + \frac{zx}{z^2 + x^2 + zy} \geq C. \] Propuesto por Vadym Solomka

Sea \( n > 2 \) un entero, \( k > 1 \) un número real, y \( x_1, x_2, \ldots, x_n \) números reales positivos tales que \( x_1 \cdot x_2 \cdots x_n = 1 \). Demuestra que: \[ \frac{1 + x_1^k}{1 + x_2} + \frac{1 + x_2^k}{1 + x_3} + \cdots + \frac{1 + x_n^k}{1 + x_1} \geq n. \] ¿Cuándo se da la igualdad?

Mykhailo dibujó una cuadrícula triangular de lado \( n \) para \( n \geq 2 \). Se forma a partir de un triángulo equilátero \( T \) de lado \( n \), dividiendo cada lado en \( n \) partes iguales. Luego se trazan rectas paralelas a los lados del triángulo \( T \), dividiéndolo en \( n^2 \) triángulos equiláteros de lado \( 1 \), a los que llamaremos \textbf{celdas}. Después, Oleksii escribe algún entero positivo en cada celda. Mykhailo recibe 1 caramelo por cada celda donde el número escrito sea igual a la suma de todos los números en las celdas adyacentes. Oleksii quiere acomodar los números de tal manera que Mykhailo reciba la mayor cantidad de caramelos. ¿Cuántos caramelos puede recibir Mykhailo bajo tales condiciones? En la figura de abajo se muestra un ejemplo para \( n = 4 \) con 16 celdas y números escritos dentro. Para los números acomodados como en la figura, Mykhailo recibe 5 caramelos por los números \( 2 \) (la celda más arriba), \( 8 \), \( 13 \), \( 12 \) y \( 11 \). https://i.ibb.co/LrLks9q/Kyiv-MO-2025-R2-7-1.png Propuesto por Mykhailo Shtandenko

Mykhailo eligió tres números reales positivos distintos \( a, b, c \) y escribió los siguientes números en el pizarrón: \[ a + b, \quad b + c, \quad c + a, \quad ab, \quad bc, \quad ca. \] ¿Cuál es el número mínimo posible de números distintos que pueden estar escritos en el pizarrón? Propuesto por Anton Trygub

Un entero positivo \( n \), que tiene al menos un divisor propio, es divisible por la media aritmética del menor y el mayor de sus divisores propios (que pueden coincidir). ¿Cuál puede ser el número de divisores de \( n \)? Un divisor propio de un entero positivo \( n \) es cualquiera de sus divisores distinto de \( 1 \) y de \( n \). Propuesto por Mykhailo Shtandenko.

Sea \( BE \) y \( CF \) las medianas del triángulo \( \triangle ABC \), y \( G \) su punto de intersección. En los segmentos \( GF \) y \( GE \), se eligen puntos \( K \) y \( L \), respectivamente, tales que \( BK = CL = AG \). Demuestra que \[ \angle BKF + \angle CLE = \angle BGC. \] Propuesto por Vadym Solomka

Mykhailo eligió tres números reales distintos \( a, b, c \) y escribió los siguientes números en el pizarrón: \[ a + b, \quad b + c, \quad c + a, \quad ab, \quad bc, \quad ca. \] ¿Cuál es el número mínimo posible de números distintos que pueden estar escritos en el pizarrón? Propuesto por Anton Trygub

Encuentra todos los pares de enteros positivos \( a, b \) tales que uno de los dos números \( 2(a^2 + b^2) \) y \( (a + b)^2 + 4 \) es divisible por el otro. Propuesto por Oleksii Masalitin

En una escuela se enseñan \( n \) idiomas distintos. Se sabe que para cualquier subconjunto de estos idiomas (incluyendo el conjunto vacío), hay exactamente un estudiante que sabe esos y solo esos idiomas (hay \( 2^n \) estudiantes en total). Cada día, los estudiantes se dividen en parejas y se enseñan mutuamente los idiomas que solo uno de ellos conoce. Si no se permite que los estudiantes estén en la misma pareja dos veces, ¿cuál es el número mínimo de días que necesita la administración de la escuela para garantizar que todos sus estudiantes aprendan los \( n \) idiomas? Propuesto por Oleksii Masalitin

Dentro de un cuadrilátero convexo \( ABCD \), se elige un punto \( P \) tal que \[ \angle PAD = \angle PAB = \angle PBC = \angle PCB = \angle PDA = 30^\circ. \] Demuestra que \( \angle CDP = 30^\circ \). Propuesto por Vadym Solomka