4 Al quitar una casilla unitaria de un cuadrado $2\times 2$ obtenemos una pieza llamada L-trominó. De la cuarta fila de un tablero de ajedrez $7 \times 7$ se han quitado algunas casillas unitarias. El tablero resultante se corta en L-trominós. Determine el número y la ubicación de las casillas quitadas.

5 Desde el pie $D$ de la altura $CD$ en el triángulo $ABC,$ se trazan perpendiculares a $BC$ y $AC$ , las cuales intersecan en los puntos $M$ y $N.$ Sea $\angle CAB = 60^{\circ} , \angle CBA = 45^{\circ} ,$ y $H$ el ortocentro de $MNC.$ Si $O$ es el punto medio de $CD,$ encuentre $\angle COH.$

6 Si $a,b$ son números reales tales que $a^3 +12a^2 + 49a + 69 = 0$ y $ b^3 - 9b^2 + 28b - 31 = 0,$ encuentre $a + b .$

7 Un rectángulo $9\times 1$ está dividido en casillas unitarias. Una línea quebrada, desde la esquina inferior izquierda hasta la esquina superior derecha, pasa por todos los $20$ vértices de las casillas unitarias y consiste de $19$ segmentos de recta. ¿Cuántas líneas de este tipo hay?

8 Encuentre el menor entero positivo $n,$ tal que $3^k+n^k+ (3n)^k+ 2014^k$ es un cuadrado perfecto para todos los números naturales $k,$ pero no es un cubo perfecto para todos los números naturales $k.$

1 Encuentre todos los enteros $n$ tales que la ecuación $2x^2 + 5xy + 2y^2 = n$ tiene solución entera para $x$ y $y$ .

2 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, donde $AB$ es el lado más pequeño y sea $D$ el punto medio de $AB$ . Sea $P$ un punto en el interior del triángulo $ABC$ tal que $\angle CAP = \angle CBP = \angle ACB$ . Desde el punto $P$ , trazamos rectas perpendiculares a $BC$ y $AC$ , donde el punto de intersección con $BC$ es $M$ , y con $AC$ es $N$ . Por el punto $M$ trazamos una recta paralela a $AC$ , y por $N$ una paralela a $BC$ . Estas rectas se intersecan en el punto $K$ . Demuestre que $D$ es el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo $MNK$ .

4 Sea $P$ un $(2n+1)$ -gono regular en el plano, donde $n$ es un entero positivo. Decimos que un punto $S$ sobre uno de los lados de $P$ puede ser visto desde un punto $E$ externo a $P$ , si el segmento de recta $\overline{ES}$ no contiene otros puntos que estén sobre los lados de $P$ excepto $S$ . Queremos colorear los lados de $P$ con $3$ colores, de modo que cada lado esté coloreado con exactamente un color, y cada color se use al menos una vez. Además, desde cada punto del plano externo a $P$ , se pueden ver a lo sumo $2$ colores diferentes sobre $P$ (ignore los vértices de $P$ , los consideramos incoloros). Encuentre el mayor entero positivo $n$ para el cual tal coloración es posible.

1 Sea $N$ el conjunto de todos los enteros positivos. Determine todas las funciones $f: N-\{1\} \to N$ tales que para todo $n \ne m$ la siguiente ecuación es verdadera $$f(n)f(m)=f\left((nm)^{2021}\right)$$

2 Las alturas $BB_1$ y $CC_1$ están trazadas en un triángulo acutángulo $ABC$ . Sean $X$ y $Y$ los puntos simétricos a los puntos $B_1$ y $C_1$ , con respecto a los puntos medios de los lados $ AB$ y $AC$ del triángulo $ABC$ respectivamente. Denotemos con $Z$ el punto de intersección de las rectas $BC$ y $XY$ . Demuestre que la recta $ZA$ es tangente a la circunferencia circunscrita del triángulo $AXY$ .