2 Sea $X$ el mayor valor posible de la expresión $$min\{bc,2 -a^2\}+min\{ac,2-b^2\}+min\{ab,2-c^2\},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales positivos. De manera similar, sea $Y$ el menor valor posible de la expresión $$max\{a^2,2 -bc\}+max\{b^2,2-ac\}+max\{c^2,2-ab\},$$ donde $a$, $b$ y $c$ son números reales positivos. Demuestra que $X = Y$. (Ognjen Tešić)

3 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$ e incírculo $\omega$. Sea $\ell$ la tangente a $\omega$ paralela a $BC$ y distinta de $BC$. Sea $D$ la intersección de $\ell$ y $AC$, y sea $M$ el punto medio de $\overline{ID}$. Demuestra que $\angle AMD = \angle DBC$.

4 Sea $\mathcal{F}$ una familia de subconjuntos (distintos) del conjunto $\{1,2,\dots,n\}$ tal que para todos $A$, $B\in \mathcal{F}$, se tiene que $A^C\cup B\in \mathcal{F}$, donde $A^C$ es el conjunto de todos los miembros de $\{1,2,\dots,n\}$ que no están en $A$. Demuestra que todo $k\in \{1,2,\dots,n\}$ aparece en al menos la mitad de los conjuntos de $\mathcal{F}$. Stijn Cambie, Mohammad Javad Moghaddas Mehr

Llamamos par binario a un par de números distintos $(a, b)$ si $ab+1$ es una potencia de dos. Dado un conjunto $S$ de $n$ enteros positivos, ¿cuál es el número máximo posible de pares binarios en $S$?

2 Sea $n$ un entero positivo. Los números $1, 2, \dots, 2n+1$ están dispuestos en un círculo en ese orden, y algunos de ellos están marcados. Definimos, para cada $k$ tal que $1\leq k \leq 2n+1$, el intervalo $I_k$ como el intervalo circular cerrado que comienza en $k$ y termina en $k+n$ (tomando residuos mód(2n+1)). Llamamos a un intervalo mágico si contiene estrictamente más de la mitad de todos los elementos marcados. Demuestra que las siguientes dos afirmaciones son equivalentes: 1. Al menos $n+1$ de los intervalos $I_1, I_2, \dots, I_{2n+1}$ son mágicos 2. El número de números marcados es impar

3 Sea $\omega$ un semicírculo con diámetro $AB$. Sea $M$ el punto medio de $AB$. Sean $X,Y$ puntos en el mismo semiplano que $\omega$ con respecto a la recta $AB$ tales que $AMXY$ es un paralelogramo. Sea $XM\cap \omega = C$ y $YM \cap \omega = D$. Sea $I$ el incentro del triángulo $XYM$. Sea $AC \cap BD= E$ y $ME$ intersecta a $XY$ en $T$. Sea el punto de intersección de $TI$ y $AB$ igual a $Q$ y sea la proyección perpendicular de $T$ sobre $AB$ igual a $P$. Demuestra que $M$ es el punto medio de $PQ$.

4 Encuentra todas las funciones \( f: \mathbb{R}^{+} \to \mathbb{R}^{+} \) tales que \( f(x+yf(x)) = xf(1+y) \) para todos los reales positivos \( x, y \).

1 Sea $\{a_n\}$ una sucesión definida por $a_1=0$ y $$ a_n=\frac{1}{n}+\frac{1}{\lceil \frac{n}{2} \rceil}\sum_{k=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil}a_k $$ para cualquier entero positivo $n$. Encuentra el término máximo de esta sucesión.

2010.1 Un contenedor cerrado con forma de paralelepípedo rectangular contiene $1$ litro de agua. Si el contenedor descansa horizontalmente sobre tres lados distintos, el nivel del agua es de $2$ cm, $4$ cm y $5$ cm. Calcula el volumen del paralelepípedo.

Hay 8 cartas con los números \(1\), \(2\), \(\dots\), \(8\) escritos respectivamente. Alice y Bob juegan el siguiente juego: en cada turno, Alice le da dos cartas a Bob, quien debe quedarse con una carta y descartar la otra. El juego continúa durante cuatro turnos en total; en los primeros dos turnos, Bob no puede quedarse con ambas cartas de los números más grandes, y en los últimos dos turnos, Bob tampoco puede quedarse con ambas cartas de los números más grandes. Sea \(S\) la suma de los números escritos en las cartas que Bob conserva. Encuentra el mayor entero positivo \(N\) para el cual Bob puede garantizar que \(S\) sea al menos \(N\).